無限等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty} 3 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ の和を求めよ。

1. 問題の内容

無限等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty} 3 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ の和を求めよ。

2. 解き方の手順

無限等比級数の和の公式は、初項を$a$、公比を$r$とすると、$|r| < 1$ のとき、

$$S = \frac{a}{1-r}$$

で与えられます。

この問題では、初項 $a = 3$ であり、公比 $r = \frac{1}{2}$ です。

$|\frac{1}{2}| < 1$ なので、公式が適用できます。

したがって、

$$S = \frac{3}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 3 \times 2 = 6$$

3. 最終的な答え

6