次の関数の最大値と最小値を求める問題です。 (1) $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、$y = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) + \sqrt{3}\sin\theta$ (2) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ のとき、$y = 5\cos^2\theta + 8\sin\theta\cos\theta - 3\sin^2\theta$

1. 問題の内容

次の関数の最大値と最小値を求める問題です。

(1) $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、$y = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) + \sqrt{3}\sin\theta$

(2) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ のとき、$y = 5\cos^2\theta + 8\sin\theta\cos\theta - 3\sin^2\theta$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) + \sqrt{3}\sin\theta$ を変形します。

$\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = \sin\theta\cos\frac{\pi}{6} + \cos\theta\sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta + \frac{1}{2}\cos\theta$

したがって、

$y = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta + \frac{1}{2}\cos\theta) + \sqrt{3}\sin\theta = \sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta = 2\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$

次に、三角関数の合成を行います。

$y = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 1^2}\sin(\theta + \alpha) = \sqrt{12+1}\sin(\theta + \alpha) = \sqrt{13}\sin(\theta + \alpha)$

ただし、$\cos\alpha = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}, \sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{13}}$

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\alpha \le \theta + \alpha < 2\pi + \alpha$

$-1 \le \sin(\theta + \alpha) \le 1$ なので、

$-\sqrt{13} \le \sqrt{13}\sin(\theta + \alpha) \le \sqrt{13}$

よって、最大値は$\sqrt{13}$、最小値は$-\sqrt{13}$です。

(2)

$y = 5\cos^2\theta + 8\sin\theta\cos\theta - 3\sin^2\theta$

$y = 5\cos^2\theta - 3\sin^2\theta + 8\sin\theta\cos\theta = 5\cos^2\theta - 3(1-\cos^2\theta) + 4(2\sin\theta\cos\theta) = 5\cos^2\theta - 3 + 3\cos^2\theta + 4\sin2\theta = 8\cos^2\theta - 3 + 4\sin2\theta = 8(\frac{1+\cos2\theta}{2}) - 3 + 4\sin2\theta = 4 + 4\cos2\theta - 3 + 4\sin2\theta = 1 + 4\cos2\theta + 4\sin2\theta$

$y = 1 + 4(\cos2\theta + \sin2\theta) = 1 + 4\sqrt{2}\sin(2\theta + \frac{\pi}{4})$

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ より、$0 \le 2\theta \le \pi$

$\frac{\pi}{4} \le 2\theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{5\pi}{4}$

$\sin(2\theta + \frac{\pi}{4})$ の最大値は1 (when $2\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{8}$)

$\sin(2\theta + \frac{\pi}{4})$ の最小値は$-\frac{\sqrt{2}}{2}$ (when $2\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \implies \theta = \frac{\pi}{2}$)

最大値：$y = 1 + 4\sqrt{2}(1) = 1 + 4\sqrt{2}$

最小値：$y = 1 + 4\sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 1 - 4 = -3$

3. 最終的な答え

(1) 最大値：$\sqrt{13}$、最小値：$-\sqrt{13}$

(2) 最大値：$1+4\sqrt{2}$、最小値：$-3$