無限級数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k-1}-3^{k-1}}{4^{k-1}}$ の和を求める問題です。

1. 問題の内容

無限級数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k-1}-3^{k-1}}{4^{k-1}}$ の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた無限級数を2つの無限等比級数に分解します。

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k-1}-3^{k-1}}{4^{k-1}} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k-1}}{4^{k-1}} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{3^{k-1}}{4^{k-1}}$

$= \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{2}{4}\right)^{k-1} - \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{3}{4}\right)^{k-1}$

それぞれの無限等比級数を計算します。

無限等比級数 $\sum_{k=1}^{\infty} ar^{k-1}$ の和は、 $|r| < 1$ のとき $\frac{a}{1-r}$ で与えられます。

最初の無限等比級数について、$a = 1$、$r = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ なので、

$\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

次の無限等比級数について、$a = 1$、$r = \frac{3}{4}$ なので、

$\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{3}{4}\right)^{k-1} = \frac{1}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$

したがって、

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k-1}-3^{k-1}}{4^{k-1}} = 2 - 4 = -2$

3. 最終的な答え

-2