関数 $y = \frac{\log(x+1)}{x}$ ($x>0$) を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{\log(x+1)}{x}$ ($x>0$) を微分せよ。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使用します。商の微分公式は、関数 $y = \frac{u(x)}{v(x)}$ の微分が $y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$ で与えられるというものです。

ここで、$u(x) = \log(x+1)$ と $v(x) = x$ とおきます。

まず、$u(x)$ を微分します。$\log(x+1)$ の微分は $\frac{1}{x+1}$ です。したがって、$u'(x) = \frac{1}{x+1}$ です。

次に、$v(x)$ を微分します。$x$ の微分は $1$ です。したがって、$v'(x) = 1$ です。

これらの結果を商の微分公式に代入すると、次のようになります。

$y' = \frac{\frac{1}{x+1} \cdot x - \log(x+1) \cdot 1}{x^2}$

これを整理すると、次のようになります。

$y' = \frac{\frac{x}{x+1} - \log(x+1)}{x^2}$

さらに整理するために、分子を通分します。

$y' = \frac{\frac{x - (x+1)\log(x+1)}{x+1}}{x^2}$

$y' = \frac{x - (x+1)\log(x+1)}{x^2(x+1)}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{x - (x+1)\log(x+1)}{x^2(x+1)}$