関数 $y = \{\log(x^2 + 2x)\}^3$ を微分せよ。ここで $\log$ は自然対数（底が $e$ の対数）を表すものとします。

1. 問題の内容

関数 $y = \{\log(x^2 + 2x)\}^3$ を微分せよ。ここで $\log$ は自然対数（底が $e$ の対数）を表すものとします。

2. 解き方の手順

この関数を微分するには、合成関数の微分法（チェインルール）を適用します。

まず、$u = \log(x^2 + 2x)$ とおくと、$y = u^3$ となります。

$\frac{dy}{du} = 3u^2$ です。

次に、$v = x^2 + 2x$ とおくと、$u = \log v$ となります。

$\frac{du}{dv} = \frac{1}{v}$ です。

さらに、$\frac{dv}{dx} = 2x + 2$ です。

チェインルールより、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$ ですから、

$\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot \frac{1}{v} \cdot (2x + 2) = 3 (\log(x^2 + 2x))^2 \cdot \frac{1}{x^2 + 2x} \cdot (2x + 2)$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{3 (\log(x^2 + 2x))^2 (2x + 2)}{x^2 + 2x} = \frac{6 (x + 1) (\log(x^2 + 2x))^2}{x(x + 2)}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{6(x+1)\{\log(x^2+2x)\}^2}{x(x+2)}$