3次方程式 $x^3 - 5x^2 + 10x - 6 = 0$ の解を求め、$x = \text{チ}, \text{ツ} \pm \sqrt{\text{テ}}i$ の形式で表す。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 5x^2 + 10x - 6 = 0$ の解を求め、$x = \text{チ}, \text{ツ} \pm \sqrt{\text{テ}}i$ の形式で表す。

2. 解き方の手順

まず、$x=1$ を代入してみると、

$1^3 - 5(1)^2 + 10(1) - 6 = 1 - 5 + 10 - 6 = 0$

となるため、$x=1$ は解の一つである。

よって、$x^3 - 5x^2 + 10x - 6$ は $(x-1)$ を因数に持つ。

組み立て除法または筆算で $x^3 - 5x^2 + 10x - 6$ を $(x-1)$ で割ると、

$x^3 - 5x^2 + 10x - 6 = (x-1)(x^2 - 4x + 6)$

となる。

したがって、与えられた方程式は

$(x-1)(x^2 - 4x + 6) = 0$

と変形できる。

$x=1$ 以外の解は、$x^2 - 4x + 6 = 0$ の解である。

この2次方程式を解の公式を使って解くと、

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 24}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}i}{2} = 2 \pm \sqrt{2}i$

したがって、解は $x = 1, 2 \pm \sqrt{2}i$ である。

3. 最終的な答え

チ = 1

ツ = 2

テ = 2