$\lim_{x \to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x-3} - 1}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x-3} - 1}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$x$ が 4 に近づくとき、分子 $x-4$ は 0 に近づき、分母 $\sqrt{x-3} - 1$ も $\sqrt{4-3} - 1 = \sqrt{1} - 1 = 1-1 = 0$ に近づきます。したがって、この極限は $\frac{0}{0}$ の不定形であるため、工夫が必要です。分母の有理化を行います。

分母と分子に $\sqrt{x-3} + 1$ をかけます。

$\lim_{x \to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x-3} - 1} = \lim_{x \to 4} \frac{(x-4)(\sqrt{x-3} + 1)}{(\sqrt{x-3} - 1)(\sqrt{x-3} + 1)}$

$= \lim_{x \to 4} \frac{(x-4)(\sqrt{x-3} + 1)}{(x-3) - 1}$

$= \lim_{x \to 4} \frac{(x-4)(\sqrt{x-3} + 1)}{x-4}$

$x \neq 4$ のとき、分子と分母にある $x-4$ を約分できます。

$= \lim_{x \to 4} (\sqrt{x-3} + 1)$

$x$ が 4 に近づくとき、$\sqrt{x-3} + 1$ は $\sqrt{4-3} + 1 = \sqrt{1} + 1 = 1 + 1 = 2$ に近づきます。

したがって、

$\lim_{x \to 4} (\sqrt{x-3} + 1) = 2$

3. 最終的な答え

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