三角形ABCにおいて、$AB=26$, $BC=10$, $AC=24$である。角Aの外角の二等分線と辺BCの延長との交点をDとする。このとき、線分BDの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=26$, $BC=10$, $AC=24$である。角Aの外角の二等分線と辺BCの延長との交点をDとする。このとき、線分BDの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

角Aの外角の二等分線と辺BCの延長との交点がDであることから、角の二等分線の定理（外角）を用いることができる。

角の二等分線の定理（外角）より、

$BD:CD = AB:AC$

$BD:CD = 26:24$

$BD:CD = 13:12$

ここで、$CD = BC + BD$であるから、$CD = 10 + BD$。

よって、$BD:(10+BD) = 13:12$となる。

比の内項の積と外項の積は等しいので、

$12 \cdot BD = 13 \cdot (10 + BD)$

$12BD = 130 + 13BD$

$-BD = 130$

$BD = -130$

ただし、BDの長さは正である必要がある。

BCの延長上にDがあるので、CD > BDとなり、13BD = 12CDよりAB*CD = AC*BDである。

$AB:AC = BD:CD$

$AB:AC = BD:(BC + BD)$であるから、

$26:24 = BD:(10 + BD)$

$13:12 = BD:(10 + BD)$

$13(10 + BD) = 12BD$

$130 + 13BD = 12BD$

$130 = -BD$

$BD = -130$

上記は計算間違い。

$CD:BD = AC:AB$

$(BC + BD):BD = AC:AB$

$(10 + BD):BD = 24:26$

$(10 + BD):BD = 12:13$

$13(10+BD) = 12BD$

$130 + 13BD = 12BD$

$130 = -BD$

外角の二等分線の定理を正しく適用すると、$CD:CA = BD:BA$なので、$(10+x):24 = x:26$。

$26(10+x)=24x$

$260+26x = 24x$

$260 = -2x$

$x = -130$。

この場合、CD < BDとならないといけないので、上記間違い。

$BD:BC = AB: (AC-AB)$

$BD:BC = AB: \abs{AC-AB}$

$BD:10 = 26: \abs{24-26}$

$BD:10 = 26:2$

$2BD = 260$

$BD = 130$

3. 最終的な答え

130