三角形ABCにおいて、$AB = 5$, $BC = 3$, $AC = 4$である。角Aの外角の二等分線と辺BCの延長との交点をDとするとき、線分BDの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 5$, $BC = 3$, $AC = 4$である。角Aの外角の二等分線と辺BCの延長との交点をDとするとき、線分BDの長さを求める。

2. 解き方の手順

角Aの外角の二等分線は、角Aの隣の角の二等分線である。角Aの外角の二等分線と辺BCの延長との交点をDとするとき、外角の二等分線の性質により、

$AB:AC = BD:CD$

が成り立つ。ここで、$AB = 5$, $AC = 4$, $BC = 3$である。$BD = x$とおくと、$CD = BC + BD = 3 + x$となる。

したがって、

$5:4 = x:(3+x)$

が成り立つ。

この比例式を解くと、

$4x = 5(3+x)$

$4x = 15 + 5x$

$-x = 15$

$x = -15$

ここで、$x$ は長さなので負の値を取らないはずである。しかし、$AB:AC = BD:CD$の公式を使うには、Dが線分BCの外にある必要がある。問題文からもそのように読み取れる。しかし、上記の計算では、BCが線分CDに含まれるという仮定で計算してしまった。

線分BC上にDがあると仮定すると、$CD = |BD - BC| = |x - 3|$となり、

$5:4 = x:|x-3|$

$4x = 5|x-3|$

$4x = 5(3-x)$ (∵$x<3$)

$4x = 15 - 5x$

$9x = 15$

$x = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$

したがって、$BD = \frac{5}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{3}$