$\triangle ABC$ において、$AB = 5$, $BC = 3$, $AC = 4$ であるとき、$\angle A$ の外角の二等分線と辺 $BC$ の延長との交点を $D$ とする。このとき、線分 $BD$ の長さを求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$AB = 5$, $BC = 3$, $AC = 4$ であるとき、$\angle A$ の外角の二等分線と辺 $BC$ の延長との交点を $D$ とする。このとき、線分 $BD$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

$\angle A$ の外角の二等分線と辺 $BC$ の延長との交点が $D$ であるとき、外角の二等分線の性質より、$AB:AC = BD:CD$ が成り立つ。

よって、$5:4 = BD:CD$ である。

$CD = BC + BD = 3 + BD$ であるから、$5:4 = BD:(3 + BD)$ となる。

この比例式を解くと、

$5(3 + BD) = 4BD$

$15 + 5BD = 4BD$

$5BD - 4BD = -15$

$BD = -15$

しかし、$BD$ は線分の長さなので正である必要がある。

$5:4 = BD : (BD+3)$

$5(BD+3)=4BD$

$5BD+15=4BD$

$BD=-15$

これは間違いです。

$AB:AC = BD:CD$より、$5:4=BD:(BD+3)$

$\frac{BD}{BD+3}=\frac{5}{4}$

$4BD=5BD+15$

$-BD=15$

$BD=-15$

どこかで符号が間違っている。

$\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{4}$

$CD = BD + BC = BD + 3$

$\frac{BD}{BD + 3} = \frac{5}{4}$

$4BD = 5(BD + 3)$

$4BD = 5BD + 15$

$-15 = BD$

これはおかしい。

外角の二等分線定理より、$AB:AC = BD:CD$。

$AB=5, AC=4, BC=3$

$CD = BD - BC = BD - 3$

したがって、

$5:4 = BD:(BD-3)$

$5(BD-3) = 4BD$

$5BD - 15 = 4BD$

$BD = 15$

3. 最終的な答え

線分 $BD$ の長さは $15$