線形写像の核($Ker f_A$)と像($Im f_A$)が部分空間であることを説明し、与えられた行列 $A$ で定まる線形写像 $f_A$ の $Ker f_A$ と $Im f_A$ の次元および1組ずつの基底を求める問題です。ここで、行列 $A$ は次の通りです。 $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 2 & -4 & 2 & 4 \\ -3 & 6 & -1 & -7 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

線形写像の核($Ker f_A$)と像($Im f_A$)が部分空間であることを説明し、与えられた行列 $A$ で定まる線形写像 $f_A$ の $Ker f_A$ と $Im f_A$ の次元および1組ずつの基底を求める問題です。ここで、行列 $A$ は次の通りです。

$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 2 & -4 & 2 & 4 \\ -3 & 6 & -1 & -7 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、$Ker f_A$ と $Im f_A$ が部分空間であることの簡単な説明をします。

* $Ker f_A$ が部分空間であること:

線形写像 $f_A: V \rightarrow W$ に対して、$Ker f_A = \{v \in V \mid f_A(v) = 0\}$ と定義されます。$Ker f_A$ が部分空間であるためには、以下の条件を満たす必要があります。

1. $0 \in Ker f_A$: $f_A(0) = 0$ より成立します。

2. $u, v \in Ker f_A$ ならば $u+v \in Ker f_A$: $f_A(u+v) = f_A(u) + f_A(v) = 0 + 0 = 0$ より成立します。

3. $c \in K$、$u \in Ker f_A$ ならば $cu \in Ker f_A$: $f_A(cu) = c f_A(u) = c \cdot 0 = 0$ より成立します。

したがって、$Ker f_A$ は部分空間です。

* $Im f_A$ が部分空間であること:

線形写像 $f_A: V \rightarrow W$ に対して、$Im f_A = \{w \in W \mid \exists v \in V, f_A(v) = w\}$ と定義されます。$Im f_A$ が部分空間であるためには、以下の条件を満たす必要があります。

1. $0 \in Im f_A$: $f_A(0) = 0$ より成立します。

2. $w_1, w_2 \in Im f_A$ ならば $w_1+w_2 \in Im f_A$: ある $v_1, v_2 \in V$ が存在して、$f_A(v_1) = w_1$、$f_A(v_2) = w_2$ です。このとき、$f_A(v_1 + v_2) = f_A(v_1) + f_A(v_2) = w_1 + w_2$ なので、$w_1 + w_2 \in Im f_A$ です。

3. $c \in K$、$w \in Im f_A$ ならば $cw \in Im f_A$: ある $v \in V$ が存在して、$f_A(v) = w$ です。このとき、$f_A(cv) = c f_A(v) = cw$ なので、$cw \in Im f_A$ です。

したがって、$Im f_A$ は部分空間です。

次に、行列 $A$ を簡約化して、$Ker f_A$ と $Im f_A$ の次元と基底を求めます。

$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 2 & -4 & 2 & 4 \\ -3 & 6 & -1 & -7 \end{pmatrix}$

まず2行目から1行目の2倍を引き、3行目に1行目の3倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & 8 & -4 \end{pmatrix}$

次に、3行目に2行目の2倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

さらに、2行目を $-1/4$ 倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

最後に、1行目から2行目の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 5/2 \\ 0 & 0 & 1 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

簡約化された行列は次のようになりました。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 5/2 \\ 0 & 0 & 1 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

* $Ker f_A$ の計算:

$Ker f_A$ は、$Ax = 0$ を満たす $x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}$ の集合です。簡約化された行列から、次の連立方程式が得られます。

$x_1 - 2x_2 + (5/2)x_4 = 0$

$x_3 - (1/2)x_4 = 0$

これを解くと、

$x_1 = 2x_2 - (5/2)x_4$

$x_3 = (1/2)x_4$

$x_2$ と $x_4$ を自由変数として、$x_2 = s$、$x_4 = t$ とおくと、

$x = \begin{pmatrix} 2s - (5/2)t \\ s \\ (1/2)t \\ t \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -5/2 \\ 0 \\ 1/2 \\ 1 \end{pmatrix}$

したがって、$Ker f_A$ の基底は、$\left\{ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -5/2 \\ 0 \\ 1/2 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$ であり、$Ker f_A$ の次元は2です。基底を整数係数にするために $\begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ を用いても良い。

* $Im f_A$ の計算:

$Im f_A$ の基底は、行列 $A$ の線形独立な列ベクトルから得られます。簡約化された行列から、1列目と3列目が線形独立であることがわかります。したがって、$Im f_A$ の基底は、行列 $A$ の1列目と3列目、つまり、$\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \right\}$ であり、$Im f_A$ の次元は2です。

3. 最終的な答え

* $Ker f_A$ の次元: 2

* $Ker f_A$ の基底: $\left\{ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right\}$

* $Im f_A$ の次元: 2

* $Im f_A$ の基底: $\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \right\}$