(1) $a^2+1$ と $a-a^2$ の大小を比較する。 (2) 2次不等式 $x^2 + (a+1)x - a(a-1)(a^2+1) < 0$ を解く。

1. 問題の内容

(1) $a^2+1$ と $a-a^2$ の大小を比較する。

(2) 2次不等式 $x^2 + (a+1)x - a(a-1)(a^2+1) < 0$ を解く。

2. 解き方の手順

(1) 大小比較を行うためには、2つの式の差を計算し、その符号を調べる。

$$(a^2 + 1) - (a - a^2) = a^2 + 1 - a + a^2 = 2a^2 - a + 1$$

この式を平方完成すると、

$$2(a^2 - \frac{1}{2}a) + 1 = 2(a - \frac{1}{4})^2 - 2(\frac{1}{16}) + 1 = 2(a - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{8} + 1 = 2(a - \frac{1}{4})^2 + \frac{7}{8}$$

$2(a - \frac{1}{4})^2 \ge 0$ より、 $2(a - \frac{1}{4})^2 + \frac{7}{8} > 0$ である。

したがって、$a^2 + 1 > a - a^2$。

(2) 与えられた2次不等式 $x^2 + (a+1)x - a(a-1)(a^2+1) < 0$ を解く。

まず、左辺を因数分解することを考える。定数項が複雑なので、因数分解の形を $(x - A)(x - B)$ とおいて、

$A+B = -(a+1)$

$AB = -a(a-1)(a^2+1)$

となるような $A, B$ を探す。

$A=a(a-1)$, $B=-(a^2+1)$ とすると

$A+B = a^2 - a - a^2 - 1 = -a-1=-(a+1)$

$AB = -a(a-1)(a^2+1)$

となるので、

$$x^2 + (a+1)x - a(a-1)(a^2+1) = (x - a(a-1))(x + a^2 + 1) < 0$$

不等式を解くには、$x - a(a-1) = 0$ と $x + a^2 + 1 = 0$ の解を求める。

$x = a(a-1) = a^2-a$ と $x = -a^2-1$ である。

$a^2 + 1 > 0$ であるから、 $-a^2-1 < a^2-a$ を証明する。

$a^2 - a - (-a^2-1) = a^2 - a + a^2 + 1 = 2a^2 - a + 1 > 0$ （(1)で示した）

したがって、 $-a^2 - 1 < a^2 - a$。

よって、不等式の解は $-a^2 - 1 < x < a^2 - a$。

3. 最終的な答え

(1) $a^2+1 > a-a^2$

(2) $-a^2 - 1 < x < a^2 - a$