与えられた行列Aに対して、以下の問いに答えます。 (1) 対称行列の定義を述べます。 (2) 交代行列の定義を述べます。 (3) 行列Aを対称行列Bと交代行列Cの和として表します。 行列Aは以下のように定義されています。 $A = \begin{pmatrix} 1 & 7 & -3 \\ 5 & 0 & 1 \\ -4 & 1 & 8 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列Aに対して、以下の問いに答えます。

(1) 対称行列の定義を述べます。

(2) 交代行列の定義を述べます。

(3) 行列Aを対称行列Bと交代行列Cの和として表します。

行列Aは以下のように定義されています。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 7 & -3 \\ 5 & 0 & 1 \\ -4 & 1 & 8 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 対称行列の定義：

行列Bが対称行列であるとは、$B^T = B$が成り立つことです。言い換えると、$b_{ij} = b_{ji}$がすべての$i, j$について成り立つことです。

(2) 交代行列の定義：

行列Cが交代行列であるとは、$C^T = -C$が成り立つことです。言い換えると、$c_{ij} = -c_{ji}$がすべての$i, j$について成り立つことです。特に、交代行列の対角成分はすべて0です。

(3) 行列Aを対称行列Bと交代行列Cの和で表す：

任意の行列Aは、対称行列Bと交代行列Cの和として一意的に表すことができます。

$A = B + C$

ここで、$B = \frac{1}{2}(A + A^T)$は対称行列、$C = \frac{1}{2}(A - A^T)$は交代行列です。

まず、$A^T$を計算します。

$A^T = \begin{pmatrix} 1 & 5 & -4 \\ 7 & 0 & 1 \\ -3 & 1 & 8 \end{pmatrix}$

次に、Bを計算します。

$B = \frac{1}{2}(A + A^T) = \frac{1}{2} \left( \begin{pmatrix} 1 & 7 & -3 \\ 5 & 0 & 1 \\ -4 & 1 & 8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 5 & -4 \\ 7 & 0 & 1 \\ -3 & 1 & 8 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 12 & -7 \\ 12 & 0 & 2 \\ -7 & 2 & 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 6 & -3.5 \\ 6 & 0 & 1 \\ -3.5 & 1 & 8 \end{pmatrix}$

次に、Cを計算します。

$C = \frac{1}{2}(A - A^T) = \frac{1}{2} \left( \begin{pmatrix} 1 & 7 & -3 \\ 5 & 0 & 1 \\ -4 & 1 & 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 5 & -4 \\ 7 & 0 & 1 \\ -3 & 1 & 8 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ -2 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0.5 \\ -1 & 0 & 0 \\ -0.5 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 行列Bが対称行列であるとは、$B^T = B$を満たすことです。

(2) 行列Cが交代行列であるとは、$C^T = -C$を満たすことです。

(3) $A = B + C$

$B = \begin{pmatrix} 1 & 6 & -3.5 \\ 6 & 0 & 1 \\ -3.5 & 1 & 8 \end{pmatrix}$

$C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0.5 \\ -1 & 0 & 0 \\ -0.5 & 0 & 0 \end{pmatrix}$