問題11：複素数$\alpha$について、次のことを証明する。 $|\alpha|=1$のとき、$\overline{\alpha} + \frac{1}{\alpha}$は実数である。 問題12：$|z+i|=|z+3i|$のとき、等式$z - \overline{z} = -4i$が成り立つことを示す。

1. 問題の内容

問題11：複素数$\alpha$について、次のことを証明する。

$|\alpha|=1$のとき、$\overline{\alpha} + \frac{1}{\alpha}$は実数である。

問題12：$|z+i|=|z+3i|$のとき、等式$z - \overline{z} = -4i$が成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

問題11：

$|\alpha|=1$なので、$\alpha \overline{\alpha} = |\alpha|^2 = 1$である。

したがって、$\overline{\alpha} = \frac{1}{\alpha}$。

$\overline{\alpha} + \frac{1}{\alpha}$が実数であることを示すために、その共役複素数を考える。

$(\overline{\alpha} + \frac{1}{\alpha}) = \overline{\overline{\alpha} + \frac{1}{\alpha}} = \overline{\overline{\alpha}} + \overline{\frac{1}{\alpha}} = \alpha + \frac{1}{\overline{\alpha}}$。

ここで、$\overline{\alpha} = \frac{1}{\alpha}$より、$\frac{1}{\overline{\alpha}} = \alpha$。

したがって、$\alpha + \frac{1}{\overline{\alpha}} = \alpha + \alpha = \overline{\alpha} + \frac{1}{\alpha}$

よって、$\overline{\alpha} + \frac{1}{\alpha}$の共役複素数は、それ自身と等しいので、$\overline{\alpha} + \frac{1}{\alpha}$は実数である。

問題12：

$|z+i|=|z+3i|$より、$|z-(-i)|=|z-(-3i)|$。

これは、複素数$z$と点$-i$との距離が、複素数$z$と点$-3i$との距離に等しいことを意味する。

つまり、$z$は点$-i$と点$-3i$を結ぶ線分の垂直二等分線上にある。

$-i = 0 - i$と$-3i=0 - 3i$の中点は$\frac{-i-3i}{2} = -2i$である。

また、線分$-i$と$-3i$は虚軸上にあるので、その垂直二等分線は実軸に平行な直線である。

したがって、$z = x - 2i$と表せる。（$x$は実数）

このとき、$\overline{z} = x + 2i$である。

よって、$z - \overline{z} = (x - 2i) - (x + 2i) = -4i$。

3. 最終的な答え

問題11：

$\overline{\alpha} + \frac{1}{\alpha}$は実数

問題12：

$z - \overline{z} = -4i$