大きい正三角形から小さい正三角形を取り除いた図形の周の長さが $56cm$ である。取り除いた小さい正三角形の面積は、残った図形の面積の $1/3$ である。このとき、取り除いた小さい正三角形の1辺の長さを求めよ。

1. 問題の内容

大きい正三角形から小さい正三角形を取り除いた図形の周の長さが $56cm$ である。取り除いた小さい正三角形の面積は、残った図形の面積の $1/3$ である。このとき、取り除いた小さい正三角形の1辺の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、大きい正三角形の一辺の長さを $L$、小さい正三角形の一辺の長さを $l$ とする。

残った図形の周の長さは、大きい正三角形の3辺と、小さい正三角形の2辺の合計である。したがって、

$3L + 2l = 56$

次に、大きい正三角形の面積を $S_L$、小さい正三角形の面積を $S_l$ とする。

残った図形の面積は $S_L - S_l$ であり、これは小さい正三角形の面積 $S_l$ の3倍に等しいので、

$S_L - S_l = 3S_l$

$S_L = 4S_l$

正三角形の面積は、一辺の長さの二乗に比例する。したがって、

$L^2 = 4l^2$

$L = 2l$

これを $3L + 2l = 56$ に代入すると、

$3(2l) + 2l = 56$

$6l + 2l = 56$

$8l = 56$

$l = 7$

3. 最終的な答え

$l = 7$