三角形ABCにおいて、$\angle A = 60^\circ$, $BC = 2\sqrt{2}$, $\angle C$の外角が$135^\circ$であり、線分CDは$\angle C$を共有する線分である。また、$\angle D = 45^\circ$、線分DCの長さは2である。このとき、線分ABの長さ$b$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\angle A = 60^\circ$, $BC = 2\sqrt{2}$, $\angle C$の外角が$135^\circ$であり、線分CDは$\angle C$を共有する線分である。また、$\angle D = 45^\circ$、線分DCの長さは2である。このとき、線分ABの長さ$b$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\angle C$を求めます。$\angle C$の外角が$135^\circ$なので、

$\angle C = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$です。

次に、三角形ABCにおいて正弦定理を用いると、

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$

$\frac{2\sqrt{2}}{\sin 60^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$なので、

$\frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{b}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

$\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = b\sqrt{2}$

$b = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$

$b = \frac{4\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

$b = \frac{4\sqrt{3}}{3}$