与えられた図形の辺 $a$ の長さを求める問題です。三角形ABD、三角形BCDにおいて、$\angle ADB = 45^\circ$, $\angle BCD = 135^\circ$, $CD = 2$, $BC = 2\sqrt{2}$, $\angle DAB = 60^\circ$が与えられています。

1. 問題の内容

与えられた図形の辺 $a$ の長さを求める問題です。三角形ABD、三角形BCDにおいて、$\angle ADB = 45^\circ$, $\angle BCD = 135^\circ$, $CD = 2$, $BC = 2\sqrt{2}$, $\angle DAB = 60^\circ$が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle BCD$ に着目し、余弦定理を使って辺 $BD$ の長さを求めます。

余弦定理より、

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos{\angle BCD}$

$BD^2 = (2\sqrt{2})^2 + 2^2 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 2 \cdot \cos{135^\circ}$

$BD^2 = 8 + 4 - 8\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$BD^2 = 12 + 8 = 20$

$BD = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

次に、$\triangle ABD$ において正弦定理を用いて $a$ を求めます。

$\angle ABD = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$

よって、正弦定理より、

$\frac{BD}{\sin{\angle DAB}} = \frac{a}{\sin{\angle ADB}}$

$\frac{2\sqrt{5}}{\sin{60^\circ}} = \frac{a}{\sin{45^\circ}}$

$\frac{2\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$a = \frac{2\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{30}}{3}$

したがって、$a = \frac{2\sqrt{30}}{3}$.

3. 最終的な答え

$a = \frac{2\sqrt{30}}{3}$