四角形ABCDにおいて、$\angle A = 60^\circ$, $\angle D = 45^\circ$, $\angle C = 135^\circ$, $AD = 2\sqrt{5}$, $CD = 2\sqrt{2}$のとき、$AB = b$の値を求めよ。

1. 問題の内容

四角形ABCDにおいて、$\angle A = 60^\circ$, $\angle D = 45^\circ$, $\angle C = 135^\circ$, $AD = 2\sqrt{5}$, $CD = 2\sqrt{2}$のとき、$AB = b$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、四角形の内角の和は360度なので、$\angle B = 360^\circ - 60^\circ - 45^\circ - 135^\circ = 120^\circ$となる。

次に、三角形ABDに着目し、正弦定理より

$\frac{AD}{\sin{\angle ABD}} = \frac{AB}{\sin{\angle ADB}}$

$\frac{2\sqrt{5}}{\sin{\angle ABD}} = \frac{b}{\sin{45^\circ}}$

$\sin{\angle ABD} = \frac{2\sqrt{5}\sin{45^\circ}}{b} = \frac{2\sqrt{5}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{b} = \frac{\sqrt{10}}{b}$

次に、三角形BCDに着目し、正弦定理より

$\frac{CD}{\sin{\angle CBD}} = \frac{BC}{\sin{\angle CDB}}$

$\angle BDC = 180^\circ - \angle DBC - \angle BCD$

$\angle BDC = 180^\circ - \angle DBC - 135^\circ$

$\angle BDC = 45^\circ - \angle DBC$

$\frac{2\sqrt{2}}{\sin{\angle CBD}} = \frac{BC}{\sin{(45^\circ - \angle CBD)}}$

また、余弦定理を用いると

$BD^2 = AD^2 + AB^2 - 2AD\cdot AB\cos{\angle A}$

$BD^2 = (2\sqrt{5})^2 + b^2 - 2\cdot 2\sqrt{5} \cdot b \cdot \cos{60^\circ}$

$BD^2 = 20 + b^2 - 4\sqrt{5}b \cdot \frac{1}{2}$

$BD^2 = 20 + b^2 - 2\sqrt{5}b$

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2BC\cdot CD\cos{\angle C}$

$BD^2 = BC^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2BC\cdot 2\sqrt{2}\cos{135^\circ}$

$BD^2 = BC^2 + 8 - 4\sqrt{2}BC(-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$BD^2 = BC^2 + 8 + 4BC$

$\angle ABC = 120^\circ$より、$AB = b$, $BC$, $BD$ に対して余弦定理を適用すると、

$CD^2 = BC^2 + BD^2 - 2BC\cdot BD\cos{\angle C}$

$(2\sqrt{2})^2 = BC^2 + BD^2 - 2BC\cdot BD\cos{135^\circ}$

$8 = BC^2 + BD^2 - 2BC\cdot BD\cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$8 = BC^2 + BD^2 + \sqrt{2}BC\cdot BD$

$\angle ABD + \angle CBD = \angle ABC = 120^\circ$なので、$\angle CBD = 120^\circ - \angle ABD$

$\sin{\angle CBD} = \sin{(120^\circ - \angle ABD)} = \sin{120^\circ}\cos{\angle ABD} - \cos{120^\circ}\sin{\angle ABD}$

$\sin{\angle CBD} = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos{\angle ABD} + \frac{1}{2}\sin{\angle ABD}$

$\sin{\angle CBD} = \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{10}}{b})^2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{b}$

三角形ABDについて正弦定理より、$\frac{2\sqrt{5}}{\sin \angle ABD} = \frac{b}{\sin 45^\circ}$ なので、$\sin \angle ABD = \frac{2\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{b} = \frac{\sqrt{10}}{b}$

$\angle B = 120^\circ$であり、$\angle A = 60^\circ$なので、三角形ABCに着目すると、$\angle BCA = 180^\circ - 60^\circ - 120^\circ = 0^\circ$となり、矛盾する。

代わりに、$\triangle BCD$について考えると、$\angle C = 135^\circ$なので、$BD^2 = (2\sqrt{2})^2 + (2)^2 - 2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2 \cos{135^\circ} = 8 + 4 - 8\sqrt{2} (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 12 + 8 = 20$. よって$BD = 2\sqrt{5}$.

$\triangle ABD$において$AD = BD = 2\sqrt{5}$. これは二等辺三角形。

$\angle DAB = 60^\circ$. よって$\triangle ABD$は正三角形。 $b = 2\sqrt{5}$.

3. 最終的な答え

$b = 2\sqrt{5}$