三角形ABCにおいて、角B = 120°、角C = 30°、辺AD = $2\sqrt{3}$、辺CD = 4である。辺ACの長さをa、辺BCの長さをbとする。aとbの値を求める問題。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、角B = 120°、角C = 30°、辺AD = $2\sqrt{3}$、辺CD = 4である。辺ACの長さをa、辺BCの長さをbとする。aとbの値を求める問題。

2. 解き方の手順

三角形の内角の和は180°なので、角Aは、

$180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ$

となる。よって三角形ABCは二等辺三角形であり、$AB = AC$となるから、$AC = b$である。

次に、三角形ADCについて考える。角DAC = 30°であるから、

$\frac{AC}{\sin(\angle ADC)} = \frac{CD}{\sin(\angle DAC)}$

が成り立つ。$\angle ADC = 180 - (30+30) = 120$度となるから、

$\frac{a}{\sin(120^\circ)} = \frac{4}{\sin(30^\circ)}$

$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{\frac{1}{2}}$

$a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 8$

$a = 4\sqrt{3}$

である。

次に、三角形ABCについて正弦定理を使うと、

$\frac{b}{\sin(30^\circ)} = \frac{a}{\sin(120^\circ)}$

$\frac{b}{\frac{1}{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$2b = 8$

$b = 4$

となる。

3. 最終的な答え

a = $4\sqrt{3}$

b = 4