図において、$a$ の値を求めよ。三角形ADCにおいて、$AD = 2\sqrt{3}$、$DC = 4$、$\angle ADC = 30^\circ$である。

1. 問題の内容

図において、$a$ の値を求めよ。三角形ADCにおいて、$AD = 2\sqrt{3}$、$DC = 4$、$\angle ADC = 30^\circ$である。

2. 解き方の手順

余弦定理を三角形 ADC に適用する。

余弦定理は、$AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2 \cdot AD \cdot DC \cdot \cos(\angle ADC)$ で表される。

この問題では、$AC = a$ であるから、$a^2 = (2\sqrt{3})^2 + 4^2 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \cos(30^\circ)$となる。

$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を代入すると、

$a^2 = (2\sqrt{3})^2 + 4^2 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$a^2 = 4 \cdot 3 + 16 - 8\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}$

$a^2 = 12 + 16 - 8 \cdot 3$

$a^2 = 28 - 24$

$a^2 = 4$

$a = \sqrt{4}$

$a = 2$

3. 最終的な答え

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