図に示された三角形ABCにおいて、$b$の値を求めます。三角形の辺の長さと角度に関する情報が与えられています。具体的には、$AC = 2$、$\angle ABC = 120^\circ$、$\angle ACB = 30^\circ$であり、求めたいのは辺$AB = b$の長さです。さらに、点Dから辺ACへの線分があります。$AD = 2\sqrt{3}$、$DC = 4$、$\angle ADB = 30^\circ$です。

1. 問題の内容

図に示された三角形ABCにおいて、$b$の値を求めます。三角形の辺の長さと角度に関する情報が与えられています。具体的には、$AC = 2$、$\angle ABC = 120^\circ$、$\angle ACB = 30^\circ$であり、求めたいのは辺$AB = b$の長さです。さらに、点Dから辺ACへの線分があります。$AD = 2\sqrt{3}$、$DC = 4$、$\angle ADB = 30^\circ$です。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCに着目します。三角形の内角の和は$180^\circ$なので、$\angle BAC = 180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ$となります。

したがって、$\angle BAC = \angle ACB = 30^\circ$なので、三角形ABCは二等辺三角形であり、$AB = BC$、つまり、$b = 2$です。

また、三角形ADCにおいて、$\angle DAC + \angle ACD + \angle ADC = 180^\circ$です。$\angle ADC = 180^\circ - \angle ADB = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$なので、$\angle DAC = 180^\circ - 30^\circ - 150^\circ = 0^\circ$となります。これはあり得ないです。

三角形ABCにおいて正弦定理を使うと、

$\frac{AB}{\sin{\angle ACB}} = \frac{AC}{\sin{\angle ABC}}$

$\frac{b}{\sin{30^\circ}} = \frac{2}{\sin{120^\circ}}$

$\frac{b}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{3}/2}$

$2b = \frac{4}{\sqrt{3}}$

$b = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

三角形ABDにおいて、正弦定理を使うと、

$\frac{AD}{\sin{\angle ABD}} = \frac{AB}{\sin{\angle ADB}}$

$\frac{2\sqrt{3}}{\sin{\angle ABD}} = \frac{b}{\sin{30^\circ}}$

しかしながら、三角形ABCが二等辺三角形なので、$b=2$が最も簡単な解き方でしょう。

3. 最終的な答え

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