三角形ABCにおいて、角Aが60度、線分ABの長さが$\sqrt{2}$、線分BCの長さが1である。また、三角形ABDにおいて、角ADBが45度である。線分BDの長さを$a$、線分DCの長さが2である。このとき、角Cの大きさを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、角Aが60度、線分ABの長さが$\sqrt{2}$、線分BCの長さが1である。また、三角形ABDにおいて、角ADBが45度である。線分BDの長さを$a$、線分DCの長さが2である。このとき、角Cの大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABDと三角形BCDの辺の長さと角度の関係を利用して、角Cを求める。

1. 三角形ABDにおいて正弦定理を用いる。

$\frac{BD}{\sin{\angle BAD}} = \frac{AB}{\sin{\angle ADB}}$

$\frac{a}{\sin{60^\circ}} = \frac{\sqrt{2}}{\sin{45^\circ}}$

2. $\sin{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$と$\sin{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$を代入する。

$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$\frac{2a}{\sqrt{3}} = 2$

$2a = 2\sqrt{3}$

$a = \sqrt{3}$

3. 三角形BCDにおいて余弦定理を用いる。

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos{\angle C}$

$(\sqrt{3})^2 = 1^2 + 2^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \cos{\angle C}$

$3 = 1 + 4 - 4 \cos{\angle C}$

$3 = 5 - 4 \cos{\angle C}$

$4 \cos{\angle C} = 2$

$\cos{\angle C} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

4. $\cos{\angle C} = \frac{1}{2}$となる角Cを求める。

$\angle C = 60^\circ$

3. 最終的な答え

60