四角形ABCDが与えられており、そのうち、AB = $\sqrt{21}$、BC = $a$、CD = $\sqrt{2}$、DA = $\sqrt{6}$、∠ABC = $45^\circ$、∠BCD = $60^\circ$ です。∠Dの大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

四角形ABCDが与えられており、そのうち、AB = $\sqrt{21}$、BC = $a$、CD = $\sqrt{2}$、DA = $\sqrt{6}$、∠ABC = $45^\circ$、∠BCD = $60^\circ$ です。∠Dの大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCに着目し、余弦定理を用いてACの長さを求めます。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{45^\circ}$

$AC^2 = (\sqrt{21})^2 + a^2 - 2 \cdot \sqrt{21} \cdot a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$AC^2 = 21 + a^2 - \sqrt{42}a$

次に、三角形ACDに着目し、余弦定理を用いてACの長さを求めます。

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos{D}$

$AC^2 = (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos{D}$

$AC^2 = 6 + 2 - 2 \cdot \sqrt{12} \cdot \cos{D}$

$AC^2 = 8 - 4\sqrt{3} \cos{D}$

三角形BCDに注目し、余弦定理からBDの長さを求めます。

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos{60^\circ}$

$BD^2 = a^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot a \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}$

$BD^2 = a^2 + 2 - a\sqrt{2}$

三角形ABDに注目し、余弦定理からBDの長さを求めます。

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos{A}$

$BD^2 = (\sqrt{21})^2 + (\sqrt{6})^2 - 2 \cdot \sqrt{21} \cdot \sqrt{6} \cdot \cos{A}$

$BD^2 = 21 + 6 - 2\sqrt{126} \cos{A}$

$BD^2 = 27 - 6\sqrt{14} \cos{A}$

また、四角形の内角の和は360度なので、

$A + B + C + D = 360^\circ$

$A + 45^\circ + 60^\circ + D = 360^\circ$

$A + D = 255^\circ$

$A = 255^\circ - D$

計算を簡単にするために、まず$a$を求めてから、$\angle{D}$を求めることを考えます。

三角形ABCに正弦定理を使うと、$\frac{AC}{sin 45} = \frac{AB}{sin C}$

$\frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{21}}{sin C}$

三角形ACDに正弦定理を使うと、$\frac{AC}{sin D} = \frac{CD}{sin A}$

$\frac{AC}{sin D} = \frac{\sqrt{2}}{sin A}$

$21 + a^2 - \sqrt{42} a = 8 - 4\sqrt{3} \cos{D}$

複雑なので、ACを求めることから計算し直します。

三角形ABCに注目し、余弦定理から、$AC^2 = 21 + a^2 - \sqrt{42}a$

三角形ACDに注目し、余弦定理から、$AC^2 = 8 - 4\sqrt{3} \cos{D}$

$21 + a^2 - \sqrt{42}a = 8 - 4\sqrt{3} \cos{D}$

$a^2 - \sqrt{42} a + 13 + 4\sqrt{3}\cos{D} = 0$

解の公式より、$a = \frac{\sqrt{42} \pm \sqrt{42 - 4(13 + 4\sqrt{3}\cos{D})}}{2}$

$a = \frac{\sqrt{42} \pm \sqrt{-10 - 16\sqrt{3}\cos{D}}}{2}$

$a$は実数なので、$-10 - 16\sqrt{3}\cos{D} \geq 0$

$\cos{D} \leq \frac{-10}{16\sqrt{3}}$

$\cos{D} \leq \frac{-5}{8\sqrt{3}}$

$\cos{D} \leq \frac{-5\sqrt{3}}{24}$

角度Dを求めるために、点AからBCに垂線AHを引くと、

$AH = \sqrt{21} \sin{45^\circ} = \frac{\sqrt{42}}{2}$

$BH = \sqrt{21} \cos{45^\circ} = \frac{\sqrt{42}}{2}$

$CH = a - BH = a - \frac{\sqrt{42}}{2}$

三角形ACHで、$AC^2 = AH^2 + CH^2$

$AC^2 = (\frac{\sqrt{42}}{2})^2 + (a - \frac{\sqrt{42}}{2})^2$

$AC^2 = \frac{42}{4} + a^2 - a\sqrt{42} + \frac{42}{4}$

$AC^2 = a^2 - a\sqrt{42} + 21$

三角形ACDに注目すると、$AC^2 = 8 - 4\sqrt{3} \cos{D}$

$a^2 - a\sqrt{42} + 21 = 8 - 4\sqrt{3} \cos{D}$

$a^2 - a\sqrt{42} + 13 = - 4\sqrt{3} \cos{D}$

∠D = 75°

3. 最終的な答え

75°