四角形ABCDにおいて、AD = $\sqrt{6}$, CD = $\sqrt{2}$, $\angle{ABC} = 45^\circ$, $\angle{BCD} = 60^\circ$, AB = $\sqrt{21}$ であるとき、AC = $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

四角形ABCDにおいて、AD = $\sqrt{6}$, CD = $\sqrt{2}$, $\angle{ABC} = 45^\circ$, $\angle{BCD} = 60^\circ$, AB = $\sqrt{21}$ であるとき、AC = $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle{ABC}$ に着目して、余弦定理を用いると、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cos{\angle{ABC}}$

$a^2 = (\sqrt{21})^2 + BC^2 - 2 \cdot \sqrt{21} \cdot BC \cos{45^\circ}$

$a^2 = 21 + BC^2 - 2 \sqrt{21} \cdot BC \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$a^2 = 21 + BC^2 - \sqrt{42} BC$ ...(1)

次に、$\triangle{ACD}$ に着目して、余弦定理を用いると、

$AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 AC \cdot CD \cos{\angle{ACD}}$

$\angle{ACD} = \angle{BCD} - \angle{ACB} = 60^\circ - \angle{ACB}$

$(\sqrt{6})^2 = a^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 a \sqrt{2} \cos{(60^\circ - \angle{ACB})}$

$6 = a^2 + 2 - 2 a \sqrt{2} \cos{(60^\circ - \angle{ACB})}$

$4 = a^2 - 2 a \sqrt{2} \cos{(60^\circ - \angle{ACB})}$ ...(2)

$\triangle{ABC}$において、正弦定理を用いると、

$\frac{AC}{\sin{45^\circ}} = \frac{AB}{\sin{\angle{ACB}}} = \frac{BC}{\sin{\angle{BAC}}}$

$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{21}}{\sin{\angle{ACB}}}$

$\sin{\angle{ACB}} = \frac{\sqrt{21}}{a} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{42}}{2a}$

$\triangle{ACD}$において、余弦定理を用いると、

$a^2 = (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \sqrt{6} \sqrt{2} cos{\angle{ADC}}$

$a^2 = 6+2-4\sqrt{3} cos{\angle{ADC}}$

別の方法として、$\triangle{ACD}$に余弦定理を適用すると、

$AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2AC \cdot CD \cdot cos\angle{ACD}$

$(\sqrt{6})^2 = a^2 + (\sqrt{2})^2 - 2a(\sqrt{2})cos(60 - \angle ACB)$

四角形ABCDの面積を、三角形ABCと三角形ACDの面積の和で表すことを考える。

しかし、直接BCを求められないので、角度から求める。

$\triangle{ACD}$について、cos$\angle{ACD}$を求めることを考えると、

$\triangle ABC$に余弦定理より、$a^2 = (\sqrt{21})^2 + x^2 - 2(\sqrt{21})x cos 45 = 21+x^2 - \sqrt{42}x$

$\triangle DBC$に余弦定理より、$(\sqrt{2})^2 = a^2+ (\sqrt{6})^2 - 2 a (\sqrt{6})cos\angle ADC$

$a = 3$ のとき、$a^2 = 9$. $\angle ACD = 45^\circ$, $\sin{\angle ACB} = \frac{\sqrt{42}}{2(3)} = \frac{\sqrt{42}}{6}$. $\cos{\angle ACB} = \sqrt{1-\frac{42}{36}} = \sqrt{\frac{-6}{36}}$より、この角度はありえない。

$a=5$を当てはめてみると

$\frac{5}{\sin{45}} = \frac{\sqrt{21}}{\sin C}$

$\sin{C} = \frac{\sqrt{21}\frac{\sqrt{2}}{2}}{5}$

$6=25+2-10 \sqrt{2}cos\angle ACD$

$\angle ACD < 0$

$a=4$.

$a=4$.

$\sin{ACB} = \frac{\sqrt{42}}{8}$

$\cos(60-\angle ACB)$

AC = 3と仮定する。

3. 最終的な答え

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