与えられた図において、$\angle C$ の大きさを求める問題です。図には、三角形ABDと三角形BCDがあり、各辺の長さと角度がいくつか与えられています。

1. 問題の内容

与えられた図において、$\angle C$ の大きさを求める問題です。図には、三角形ABDと三角形BCDがあり、各辺の長さと角度がいくつか与えられています。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABDに着目します。

$\angle BAD = 60^\circ$, $\angle ADB = 45^\circ$ なので、$\angle ABD = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$ となります。

辺の長さを $a$ (BDの長さ) とすると、正弦定理より、

$\frac{a}{\sin{60^\circ}} = \frac{\sqrt{10}}{\sin{45^\circ}}$

$a = \frac{\sqrt{10} \sin{60^\circ}}{\sin{45^\circ}} = \frac{\sqrt{10} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{10}\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{5}\sqrt{3} = \sqrt{15}$

次に、三角形BCDに着目します。辺の長さは、$BD = \sqrt{15}$, $BC = \sqrt{6}$, $CD = \sqrt{3}$ です。

余弦定理を用いて、$\angle CBD$ を求めます。

$CD^2 = BC^2 + BD^2 - 2 \cdot BC \cdot BD \cdot \cos{\angle CBD}$

$(\sqrt{3})^2 = (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{15})^2 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{15} \cdot \cos{\angle CBD}$

$3 = 6 + 15 - 2\sqrt{90} \cos{\angle CBD}$

$3 = 21 - 2\sqrt{90} \cos{\angle CBD}$

$2\sqrt{90} \cos{\angle CBD} = 18$

$\sqrt{90} \cos{\angle CBD} = 9$

$3\sqrt{10} \cos{\angle CBD} = 9$

$\cos{\angle CBD} = \frac{9}{3\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

$\angle ABC = 75^\circ$ なので、$\angle CBD = \angle ABC - \angle ABD = 75^\circ - \angle ABD$

$\angle DBC$ を$\theta$とすると $\cos{\theta} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.

$\angle C$を求めるために、三角形BCDに余弦定理を適用して求めることは難しいので、正弦定理を用いる。

$\frac{\sin(\angle C)}{\sqrt{15}} = \frac{\sin(\theta)}{\sqrt{3}}$

$\sin(\angle C) = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}} \sin(\theta) = \sqrt{5} \sin(\theta)$

$\sin(\theta) = \sqrt{1-\cos^2(\theta)} = \sqrt{1 - (\frac{9}{10})} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$

$\sin(\angle C) = \sqrt{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\angle C = \arcsin(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 45^{\circ}$ または $135^{\circ}$

$\angle BDC=180^{\circ}-\angle DBC-\angle C$.

$\angle DBC+\angle C<180^{\circ}$

$BC^2 = BD^2 + CD^2 - 2BD \cdot CD \cdot \cos{\angle BDC}$

$6=15+3 -2 \sqrt{15} \cdot \sqrt{3} \cos{\angle BDC}$

$6=18-6\sqrt{5} \cos{\angle BDC}$

$-12= -6 \sqrt{5} \cos{\angle BDC}$

$\cos{\angle BDC} = \frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\angle BDC \approx 26.565$度.

もし、$\angle C = 45^{\circ}$, $\angle DBC = \arccos(\frac{3\sqrt{10}}{10})$ は $\approx 18.435^{\circ}$, したがって$\angle DBC + \angle C = 18.435^{\circ}+45^{\circ}=63.435^{\circ}< 180^{\circ}$, therefore $\angle C = 135^{\circ}$ はありえない。

$\angle C=135^{\circ}$ と仮定すると、

$\angle BDC = 180 - 135 - 18.43 = 26.57$

3. 最終的な答え

$\angle C = 135$