2つの放物線 $y = 2x^2 - (k+6)x + k^2 - 4$ と $y = x^2 - 5x + 1$ の共有点がちょうど1個となるような定数 $k$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2つの放物線 $y = 2x^2 - (k+6)x + k^2 - 4$ と $y = x^2 - 5x + 1$ の共有点がちょうど1個となるような定数 $k$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

2つの放物線の共有点を求めるには、それぞれの $y$ の値を等しいとおいて、$x$ に関する方程式を立てます。

$$2x^2 - (k+6)x + k^2 - 4 = x^2 - 5x + 1$$

これを整理して、$x$ に関する2次方程式を作ります。

$$x^2 - (k+1)x + k^2 - 5 = 0$$

2つの放物線の共有点がちょうど1個であるということは、この2次方程式が重解を持つということです。したがって、この2次方程式の判別式 $D$ が0となれば良いです。

$$D = (k+1)^2 - 4(k^2 - 5) = 0$$

これを展開し、整理して $k$ に関する2次方程式を得ます。

$$k^2 + 2k + 1 - 4k^2 + 20 = 0$$

$$-3k^2 + 2k + 21 = 0$$

$$3k^2 - 2k - 21 = 0$$

この2次方程式を解きます。因数分解を使うと、

$$(3k + 7)(k - 3) = 0$$

したがって、$k$ の値は $k = 3$ または $k = -\frac{7}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$k = 3, -\frac{7}{3}$