$\sqrt{126n}$ の値が自然数となるような自然数 $n$ のうち、最も小さいものを求める。

1. 問題の内容

$\sqrt{126n}$ の値が自然数となるような自然数 $n$ のうち、最も小さいものを求める。

2. 解き方の手順

$\sqrt{126n}$ が自然数となるためには、$126n$ がある自然数の2乗になる必要がある。

まず、$126$ を素因数分解する。

$126 = 2 \times 63 = 2 \times 3 \times 21 = 2 \times 3 \times 3 \times 7 = 2 \times 3^2 \times 7$

したがって、$\sqrt{126n} = \sqrt{2 \times 3^2 \times 7 \times n}$ となる。

$\sqrt{126n}$ が自然数となるためには、根号の中が2乗の形になっている必要がある。

つまり、$n$ は、$2$ と $7$ を少なくとも1つずつ含む必要がある。

したがって、$n = 2 \times 7 = 14$ とすると、$\sqrt{126n} = \sqrt{2 \times 3^2 \times 7 \times 2 \times 7} = \sqrt{2^2 \times 3^2 \times 7^2} = 2 \times 3 \times 7 = 42$ となり、自然数となる。

もし、$n$ が $14$ より小さいと、$\sqrt{126n}$ は自然数にならない。

3. 最終的な答え

$n = 14$