問題1は、2次関数 $y = x^2 - 4ax + 3a^2 + 5$ について、 (1) 頂点の座標を求める。 (2) $0 \le x \le 4$ における最小値を、$a$ の範囲によって場合分けして求める。 問題2は、$\triangle ABC$ において、$AB = 3, AC = 8, \angle BAC = 60^\circ$ のとき、 (1) 線分 $BC$ の長さを求める。 (2) $\angle BAC$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とするとき、線分 $AD$ の長さを求める。

1. 問題の内容

問題1は、2次関数 $y = x^2 - 4ax + 3a^2 + 5$ について、

(1) 頂点の座標を求める。

(2) $0 \le x \le 4$ における最小値を、$a$ の範囲によって場合分けして求める。

問題2は、$\triangle ABC$ において、$AB = 3, AC = 8, \angle BAC = 60^\circ$ のとき、

(1) 線分 $BC$ の長さを求める。

(2) $\angle BAC$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とするとき、線分 $AD$ の長さを求める。

2. 解き方の手順

**問題1**

(1)

$y = x^2 - 4ax + 3a^2 + 5$ を平方完成する。

$y = (x - 2a)^2 - 4a^2 + 3a^2 + 5$

$y = (x - 2a)^2 - a^2 + 5$

よって、頂点の座標は $(2a, -a^2 + 5)$。

したがって、53 = 2、54 = -。

(2)

軸 $x = 2a$ と定義域 $0 \le x \le 4$ の位置関係で場合分けする。

(i) $2a < 0$ つまり $a < 0$ のとき、最小値は $x = 0$ で $y = 3a^2 + 5$。

(ii) $0 \le 2a \le 4$ つまり $0 \le a \le 2$ のとき、最小値は $x = 2a$ で $y = -a^2 + 5$。

(iii) $4 < 2a$ つまり $2 < a$ のとき、最小値は $x = 4$ で $y = 16 - 16a + 3a^2 + 5 = 3a^2 - 16a + 21$。

したがって、

$a < 0$ のとき、最小値は $3a^2 + 5$。

$0 \le a \le 2$ のとき、最小値は $-a^2 + 5$。

$2 < a$ のとき、最小値は $3a^2 - 16a + 21$。

よって、55 = 0, 56 = 3, 57 = 5, 58 = 2, 59 = -, 60 = 3, 61 = 16, 62 = 6。

**問題2**

(1)

余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos{\angle BAC}$

$BC^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos{60^\circ}$

$BC^2 = 9 + 64 - 48 \cdot \frac{1}{2}$

$BC^2 = 73 - 24 = 49$

$BC = 7$

よって、63 = 7。

(2)

$BD:DC = AB:AC = 3:8$ であるから、$BD = \frac{3}{11}BC = \frac{3}{11} \cdot 7 = \frac{21}{11}$。

$\triangle ABD$ において余弦定理を用いると、

$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos{\angle ABD}$

ここで、$\angle ABD = \angle ABC$ であるから、$\triangle ABC$ において余弦定理を用いると、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{\angle ABC}$

$64 = 9 + 49 - 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot \cos{\angle ABC}$

$64 = 58 - 42 \cos{\angle ABC}$

$6 = -42 \cos{\angle ABC}$

$\cos{\angle ABC} = -\frac{1}{7}$

よって、

$AD^2 = 9 + (\frac{21}{11})^2 - 2 \cdot 3 \cdot \frac{21}{11} \cdot (-\frac{1}{7})$

$AD^2 = 9 + \frac{441}{121} + \frac{18}{11}$

$AD^2 = \frac{1089 + 441 + 198}{121} = \frac{1728}{121}$

$AD = \sqrt{\frac{1728}{121}} = \sqrt{\frac{144 \cdot 12}{121}} = \frac{12\sqrt{12}}{11} = \frac{24\sqrt{3}}{11}$

したがって、二等分線の長さの公式を利用すると、

$AD = \frac{2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC / 2)}{AB+AC} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos(30^\circ)}{3+8} = \frac{48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{11} = \frac{24\sqrt{3}}{11} = \frac{24\sqrt{3}}{11}$.

よって、64 = 2, 65 = 4, 66 = 3。

3. 最終的な答え

問題1

(1) 53 = 2, 54 = -

(2) 55 = 0, 56 = 3, 57 = 5, 58 = 2, 59 = -, 60 = 3, 61 = 16, 62 = 6

問題2

(1) 63 = 7

(2) 64 = 2, 65 = 4, 66 = 3