与えられた問題は、自然数 $m, n$ に関する以下の4つの問いに答えるものです。 (1) 関数 $f(x) = \frac{\log x}{x}$ が $x \geq e$ において単調減少であることを示す。 (2) $n > m \geq 3$ のとき、$m^n > n^m$ が成り立つことを示す。 (3) $2^n \leq n^2$ を満たす $n$ をすべて求める。 (4) $m^n = n^m$ を満たす自然数の組 $(m, n)$ をすべて求める。

1. 問題の内容

与えられた問題は、自然数 $m, n$ に関する以下の4つの問いに答えるものです。

(1) 関数 $f(x) = \frac{\log x}{x}$ が $x \geq e$ において単調減少であることを示す。

(2) $n > m \geq 3$ のとき、$m^n > n^m$ が成り立つことを示す。

(3) $2^n \leq n^2$ を満たす $n$ をすべて求める。

(4) $m^n = n^m$ を満たす自然数の組 $(m, n)$ をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x) = \frac{\log x}{x}$ の単調減少性を示す。

$f(x)$ を微分します。

$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$

$f'(x) < 0$ となるのは、$1 - \log x < 0$ のとき、つまり $\log x > 1$ のときです。底が $e$ である自然対数を考えているので、$x > e$ のとき $f'(x) < 0$ となります。したがって、$x \geq e$ において $f(x)$ は単調減少です。

(2) $n > m \geq 3$ のとき、$m^n > n^m$ が成り立つことを示す。

$m^n > n^m$ の両辺を $m^m n^n$ で割ると、$\frac{m^n}{m^m n^n} > \frac{n^m}{m^m n^n}$ より、$(\frac{m}{n})^{m-n} > 1$ と同値です。$n > m$ より $m - n < 0$ なので、$n>m>e$であれば、 $(\frac{m}{n})^{m-n} > 1$となるので、$m^n>n^m$が成立します。

別の方法として、$f(x) = \frac{\log x}{x}$ を使うことができます。(1)より、$f(x)$は $x \geq e$ において単調減少なので、$n>m \geq 3$ より $f(m) > f(n)$ です。つまり $\frac{\log m}{m} > \frac{\log n}{n}$ であり、$n \log m > m \log n$ となります。対数の性質より、$\log (m^n) > \log (n^m)$ なので、$m^n > n^m$ が成り立ちます。

(3) $2^n \leq n^2$ を満たす $n$ をすべて求める。

$n = 1$ のとき、$2^1 = 2 > 1^2 = 1$ なので不成立。

$n = 2$ のとき、$2^2 = 4 = 2^2$ なので成立。

$n = 3$ のとき、$2^3 = 8 < 3^2 = 9$ なので成立。

$n = 4$ のとき、$2^4 = 16 = 4^2 = 16$ なので成立。

$n = 5$ のとき、$2^5 = 32 > 5^2 = 25$ なので不成立。

$n \geq 5$ で $2^n > n^2$ が成り立つことを数学的帰納法で示す。

(i) $n=5$のとき成立することは示した。

(ii) $n=k( \ge 5)$ で$2^k > k^2$が成立すると仮定する。

$n=k+1$のとき$2^{k+1} > (k+1)^2$を示したい。

$2^{k+1} = 2 \cdot 2^k > 2k^2$ (帰納法の仮定より)

$2k^2 - (k+1)^2 = 2k^2 - (k^2 + 2k + 1) = k^2 - 2k - 1 = (k-1)^2 - 2$

$k \geq 5$ なので $(k-1)^2 - 2 > 0$。したがって $2k^2 > (k+1)^2$。

よって、$2^{k+1} > 2k^2 > (k+1)^2$ となり、$n=k+1$ のときも成立する。

したがって、$n \geq 5$ で $2^n > n^2$ が成り立つ。

$2^n \leq n^2$ を満たす $n$ は、$n = 2, 3, 4$。

(4) $m^n = n^m$ を満たす自然数の組 $(m, n)$ をすべて求める。

$m = n$ のとき、$m^n = n^m$ は常に成立する。したがって、$(m, n) = (k, k)$ ($k$ は自然数) は解。

$m \neq n$ の場合を考える。$m < n$ と仮定する。

$m^n = n^m$ の両辺を $mn$ 乗根をとると、$m^{\frac{1}{m}} = n^{\frac{1}{n}}$。

$f(x) = x^{\frac{1}{x}}$ とおくと、$f(x) = e^{\frac{\log x}{x}}$。

$g(x) = \frac{\log x}{x}$ とおくと、$f(x) = e^{g(x)}$。$f(x)$ が増減する区間は$g(x)$が増減する区間と同じなので、$g(x)$を調べる。

$g'(x) = \frac{1 - \log x}{x^2}$。

$g'(x) > 0$ のとき $1 - \log x > 0$ より $\log x < 1$。したがって $x < e$。

$g'(x) < 0$ のとき $1 - \log x < 0$ より $\log x > 1$。したがって $x > e$。

$x = 1$ のとき $f(1) = 1$. $x=2$のとき、$f(2)=2^{1/2}=\sqrt{2}$.$x=3$のとき、$f(3)=3^{1/3} \approx 1.44$.

$m < n$ とすると $m=2$の時、$2^n=n^2$となる自然数$n$を求めると、$n=4$

$m=3$の時、$3^n=n^3$を満たす自然数解はない

したがって、$m < n$ のとき、$(m, n) = (2, 4), (4, 2)$ が解となる。

3. 最終的な答え

(1) $x \geq e$ において、$f(x) = \frac{\log x}{x}$ は単調減少。

(2) $n > m \geq 3$ のとき、$m^n > n^m$ が成り立つ。

(3) $2^n \leq n^2$ を満たす $n$ は、$n = 2, 3, 4$。

(4) $m^n = n^m$ を満たす自然数の組 $(m, n)$ は、$(m, n) = (k, k)$ ($k$ は自然数) と $(2, 4), (4, 2)$。