与えられた式 $4a^2 - 9b^2 + 24b - 16$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $4a^2 - 9b^2 + 24b - 16$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を次のように変形します。

$4a^2 - (9b^2 - 24b + 16)$

ここで、$9b^2 - 24b + 16$ が $(3b - 4)^2$ となることに気づきます。したがって、

$4a^2 - (3b - 4)^2$

これは $A^2 - B^2$ の形の因数分解で、$A = 2a$、$B = 3b - 4$ となります。したがって、

$(A - B)(A + B) = (2a - (3b - 4))(2a + (3b - 4))$

これを整理すると、

$(2a - 3b + 4)(2a + 3b - 4)$

3. 最終的な答え

$(2a - 3b + 4)(2a + 3b - 4)$