関数 $y = f(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{8}{3}$ について、以下の問いに答えます。 (1) 関数の増減表を作成します（凹凸・変曲点は調べなくてよい）。 (2) 関数の極値を求めます。 (3) 関数のグラフの概形を描きます。

1. 問題の内容

関数 $y = f(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{8}{3}$ について、以下の問いに答えます。

(1) 関数の増減表を作成します（凹凸・変曲点は調べなくてよい）。

(2) 関数の極値を求めます。

(3) 関数のグラフの概形を描きます。

2. 解き方の手順

(1) 増減表の作成

まず、関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = \frac{d}{dx} (\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{8}{3}) = x^3 + x^2 - 2x$

$f'(x) = x(x^2 + x - 2) = x(x+2)(x-1)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$x(x+2)(x-1) = 0$

$x = -2, 0, 1$

これらの値を基に増減表を作成します。増減表では、$x$の値、導関数$f'(x)$の符号、そして関数$f(x)$の増減を記述します。

| x | ... | -2 | ... | 0 | ... | 1 | ... |

| ---- | ---- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↘ | 極小 | ↗ | 極大 | ↘ | 極小 | ↗ |

(2) 極値の計算

$x = -2, 0, 1$ での $f(x)$ の値を計算します。

$f(-2) = \frac{(-2)^4}{4} + \frac{(-2)^3}{3} - (-2)^2 + \frac{8}{3} = \frac{16}{4} - \frac{8}{3} - 4 + \frac{8}{3} = 4 - 4 = 0$

$f(0) = \frac{0^4}{4} + \frac{0^3}{3} - 0^2 + \frac{8}{3} = \frac{8}{3}$

$f(1) = \frac{1^4}{4} + \frac{1^3}{3} - 1^2 + \frac{8}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1 + \frac{8}{3} = \frac{3+4-12+32}{12} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}$

よって、極小値は $f(-2) = 0$ および $f(1) = \frac{9}{4}$ であり、極大値は $f(0) = \frac{8}{3}$ です。

(3) グラフの概形

増減表と極値に基づいてグラフの概形を描きます。

- $x = -2$ で極小値0をとる。

- $x = 0$ で極大値 $\frac{8}{3}$をとる。

- $x = 1$ で極小値 $\frac{9}{4}$をとる。

- $x$ が大きくなるにつれて $f(x)$ も大きくなる。

3. 最終的な答え

(1) 増減表：

| x | ... | -2 | ... | 0 | ... | 1 | ... |

| ---- | ---- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↘ | 極小 | ↗ | 極大 | ↘ | 極小 | ↗ |

(2) 極値：

極小値: $f(-2) = 0$, $f(1) = \frac{9}{4}$

極大値: $f(0) = \frac{8}{3}$

(3) グラフの概形：（説明）

上記の増減表と極値を考慮してグラフを描きます。