曲線 $C: y = x^3 + 2x^2 - 6x - 1$ と、曲線C上の点 $A(-3, 8)$ における接線 $g$ がある。 (1) 接線 $g$ の方程式を求めよ。 (2) 曲線 $C$ と接線 $g$ の共有点の座標をすべて求めよ。 (3) 曲線 $C$ と接線 $g$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = x^3 + 2x^2 - 6x - 1$ と、曲線C上の点 $A(-3, 8)$ における接線 $g$ がある。

(1) 接線 $g$ の方程式を求めよ。

(2) 曲線 $C$ と接線 $g$ の共有点の座標をすべて求めよ。

(3) 曲線 $C$ と接線 $g$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 接線 $g$ の方程式を求める。

$y = x^3 + 2x^2 - 6x - 1$ を微分すると、

$y' = 3x^2 + 4x - 6$

点 $A(-3, 8)$ における接線の傾きは、

$y'(-3) = 3(-3)^2 + 4(-3) - 6 = 27 - 12 - 6 = 9$

よって、接線 $g$ の方程式は、

$y - 8 = 9(x - (-3))$

$y - 8 = 9x + 27$

$y = 9x + 35$

(2) 曲線 $C$ と接線 $g$ の共有点の座標を求める。

$x^3 + 2x^2 - 6x - 1 = 9x + 35$

$x^3 + 2x^2 - 15x - 36 = 0$

$x = -3$ は解なので、$(x+3)$ で割り切れる。

$(x+3)(x^2 - x - 12) = 0$

$(x+3)(x-4)(x+3) = 0$

$(x+3)^2(x-4) = 0$

$x = -3, 4$

$x = -3$ のとき、$y = 9(-3) + 35 = 8$

$x = 4$ のとき、$y = 9(4) + 35 = 36 + 35 = 71$

よって、共有点の座標は $(-3, 8), (4, 71)$

(3) 曲線 $C$ と接線 $g$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

$S = \int_{-3}^{4} (9x + 35 - (x^3 + 2x^2 - 6x - 1)) dx$

$S = \int_{-3}^{4} (9x + 35 - x^3 - 2x^2 + 6x + 1) dx$

$S = \int_{-3}^{4} (-x^3 - 2x^2 + 15x + 36) dx$

$S = [-\frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{15}{2}x^2 + 36x]_{-3}^{4}$

$S = (-\frac{1}{4}(4)^4 - \frac{2}{3}(4)^3 + \frac{15}{2}(4)^2 + 36(4)) - (-\frac{1}{4}(-3)^4 - \frac{2}{3}(-3)^3 + \frac{15}{2}(-3)^2 + 36(-3))$

$S = (-64 - \frac{128}{3} + 120 + 144) - (-\frac{81}{4} + 18 + \frac{135}{2} - 108)$

$S = (200 - \frac{128}{3}) - (\frac{-81+72+270-432}{4})$

$S = \frac{600 - 128}{3} - \frac{-171}{4}$

$S = \frac{472}{3} + \frac{171}{4} = \frac{1888 + 513}{12} = \frac{2401}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $y = 9x + 35$

(2) $(-3, 8), (4, 71)$

(3) $S = \frac{2401}{12}$