次の2つの不定積分を求めます。 (1) $\int \frac{\log x}{x (\log x + 1)^2} dx$ (2) $\int \frac{e^{3x}}{(e^{2x}+1)^2} dx$

1. 問題の内容

次の2つの不定積分を求めます。

(1) $\int \frac{\log x}{x (\log x + 1)^2} dx$

(2) $\int \frac{e^{3x}}{(e^{2x}+1)^2} dx$

2. 解き方の手順

(1)

まず、置換積分を行います。$t = \log x + 1$ と置くと、$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{x}$ より $dx = x dt$ です。また、$\log x = t - 1$ となります。

したがって、積分は

$\int \frac{t-1}{x t^2} x dt = \int \frac{t-1}{t^2} dt = \int (\frac{1}{t} - \frac{1}{t^2}) dt$

となります。

$\int \frac{1}{t} dt = \log |t|$ であり、$\int \frac{1}{t^2} dt = -\frac{1}{t}$ なので、

$\int (\frac{1}{t} - \frac{1}{t^2}) dt = \log |t| + \frac{1}{t} + C$

となります。

$t = \log x + 1$ を代入すると、

$\log |\log x + 1| + \frac{1}{\log x + 1} + C$

となります。

(2)

まず、置換積分を行います。$u = e^{x}$ と置くと、$\frac{du}{dx} = e^{x}$ より $dx = \frac{1}{e^{x}} du = \frac{1}{u} du$ です。

したがって、積分は

$\int \frac{(e^{x})^{3}}{(e^{2x}+1)^2} dx = \int \frac{u^{3}}{(u^2+1)^2} \frac{1}{u} du = \int \frac{u^2}{(u^2+1)^2} du$

となります。

ここで、部分積分を利用します。

$I = \int \frac{u^2}{(u^2+1)^2} du = \int u \cdot \frac{u}{(u^2+1)^2} du$

とすると、$f(u) = u$ , $g'(u) = \frac{u}{(u^2+1)^2}$ とおきます。

$f'(u) = 1$ であり、$g(u) = \int \frac{u}{(u^2+1)^2} du = -\frac{1}{2(u^2+1)}$ となります。

したがって、$I = u \cdot (-\frac{1}{2(u^2+1)}) - \int 1 \cdot (-\frac{1}{2(u^2+1)}) du = -\frac{u}{2(u^2+1)} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^2+1} du$

$\int \frac{1}{u^2+1} du = \arctan u$ なので、$I = -\frac{u}{2(u^2+1)} + \frac{1}{2} \arctan u + C$

$u = e^{x}$ を代入すると、

$-\frac{e^{x}}{2(e^{2x}+1)} + \frac{1}{2} \arctan (e^{x}) + C$

となります。

3. 最終的な答え

(1) $\log |\log x + 1| + \frac{1}{\log x + 1} + C$

(2) $-\frac{e^{x}}{2(e^{2x}+1)} + \frac{1}{2} \arctan (e^{x}) + C$