$y = \cos x$ の 1 次近似式を用いて、$\cos 61^\circ$ の近似値を求め、小数第 3 位を四捨五入した値を求める問題です。ただし、$\pi = 3.14$、$\sqrt{3} = 1.73$ とします。

1. 問題の内容

$y = \cos x$ の 1 次近似式を用いて、$\cos 61^\circ$ の近似値を求め、小数第 3 位を四捨五入した値を求める問題です。ただし、$\pi = 3.14$、$\sqrt{3} = 1.73$ とします。

2. 解き方の手順

まず、角度をラジアンに変換します。$61^\circ = 60^\circ + 1^\circ$ であり、$60^\circ = \frac{\pi}{3}$ ラジアンです。

$1^\circ = \frac{\pi}{180}$ ラジアンなので、$61^\circ = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{180}$ ラジアンとなります。

$x = a$ における $f(x)$ の 1 次近似は

$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$

で与えられます。

ここでは、$f(x) = \cos x$ であり、$a = \frac{\pi}{3}$ とします。

$f'(x) = -\sin x$ なので、$f'(a) = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となります。

よって、

$\cos x \approx \cos \frac{\pi}{3} - \sin \frac{\pi}{3} (x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}(x - \frac{\pi}{3})$

$x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{180}$ を代入すると

$\cos (\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{180}) \approx \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{180} - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\pi}{360}$

与えられた $\pi = 3.14$、$\sqrt{3} = 1.73$ を代入すると

$\cos 61^\circ \approx \frac{1}{2} - \frac{1.73 \times 3.14}{360} = \frac{1}{2} - \frac{5.4322}{360} = \frac{1}{2} - 0.015089 \approx 0.5 - 0.0151 = 0.4849$

小数第 3 位を四捨五入すると、$0.48$ となります。

3. 最終的な答え

$\cos 61^\circ \approx 0.48$