与えられた関数 $f(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{8}{3}$ について、以下の問いに答えます。 (1) 関数 $f(x)$ の増減表を作成します。 (2) 関数 $f(x)$ の極値を求めます。 (3) 関数 $f(x)$ のグラフの概形を描きます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{8}{3}$ について、以下の問いに答えます。

(1) 関数 $f(x)$ の増減表を作成します。

(2) 関数 $f(x)$ の極値を求めます。

(3) 関数 $f(x)$ のグラフの概形を描きます。

2. 解き方の手順

(1) 増減表の作成

まず、関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = x^3 + x^2 - 2x = x(x^2 + x - 2) = x(x+2)(x-1)$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$x(x+2)(x-1) = 0$ より、$x = -2, 0, 1$

これらの値をもとに、増減表を作成します。増減表では、$x$ の値と $f'(x)$ の符号、そして $f(x)$ の増減を調べます。

| x | ... | -2 | ... | 0 | ... | 1 | ... |

|------|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↘ | 極小 | ↗ | 極大 | ↘ | 極小 | ↗ |

$f(-2) = \frac{(-2)^4}{4} + \frac{(-2)^3}{3} - (-2)^2 + \frac{8}{3} = \frac{16}{4} - \frac{8}{3} - 4 + \frac{8}{3} = 4 - 4 = 0$

$f(0) = \frac{8}{3}$

$f(1) = \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1 + \frac{8}{3} = \frac{3+4-12+32}{12} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}$

(2) 極値を求める

増減表より、

$x = -2$ のとき、極小値 $f(-2) = 0$

$x = 0$ のとき、極大値 $f(0) = \frac{8}{3}$

$x = 1$ のとき、極小値 $f(1) = \frac{9}{4}$

(3) グラフの概形を描く

極値と増減表をもとにグラフの概形を描きます。

3. 最終的な答え

(1) 増減表

| x | ... | -2 | ... | 0 | ... | 1 | ... |

|------|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↘ | 0 | ↗ | 8/3 | ↘ | 9/4 | ↗ |

(2) 極値

極小値: $f(-2) = 0$, $f(1) = \frac{9}{4}$

極大値: $f(0) = \frac{8}{3}$

(3) グラフの概形

（説明: x=-2で極小値0、x=0で極大値8/3、x=1で極小値9/4を持ち、xが大きくなるにつれて増加するようなグラフ。）

グラフの概形については、x=-2でx軸と交わる。x=0で極大値8/3をとり、x=1で極小値9/4をとる。その後、xが大きくなるにつれて増加する。