$(\frac{1}{7})^{81}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める問題です。ただし、$\log_{10}7 = 0.8451$ を用います。

1. 問題の内容

$(\frac{1}{7})^{81}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める問題です。ただし、$\log_{10}7 = 0.8451$ を用います。

2. 解き方の手順

まず、$x = (\frac{1}{7})^{81}$ とおきます。両辺の常用対数をとると、

$\log_{10}x = \log_{10}(\frac{1}{7})^{81}$

$\log_{10}x = 81 \log_{10}(\frac{1}{7})$

$\log_{10}x = 81 \log_{10}(7^{-1})$

$\log_{10}x = -81 \log_{10}7$

$\log_{10}7 = 0.8451$ を代入すると、

$\log_{10}x = -81 \times 0.8451$

$\log_{10}x = -68.4531$

ここで、$n$ を整数、$0 \leq \alpha < 1$ である $\alpha$ を用いて $\log_{10}x = n + \alpha$ の形に表すと、

$\log_{10}x = -69 + (1 - 0.4531)$

$\log_{10}x = -69 + 0.5469$

このとき、$n = -69$ です。

したがって、小数第69位に初めて0でない数が現れます。

3. 最終的な答え

小数第69位