与えられた積分の問題を解きます。具体的には、次の関数を積分します。 $\int \left(\frac{3}{\cos^2 x} - \frac{2}{\sin^2 x}\right) dx$

1. 問題の内容

与えられた積分の問題を解きます。具体的には、次の関数を積分します。

$\int \left(\frac{3}{\cos^2 x} - \frac{2}{\sin^2 x}\right) dx$

2. 解き方の手順

与えられた積分を2つの部分に分けます。

$\int \left(\frac{3}{\cos^2 x} - \frac{2}{\sin^2 x}\right) dx = \int \frac{3}{\cos^2 x} dx - \int \frac{2}{\sin^2 x} dx$

三角関数の積分を利用します。

$\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C_1$

$\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C_2$

これらの積分を用いて、元の積分を解きます。

$\int \frac{3}{\cos^2 x} dx = 3 \int \frac{1}{\cos^2 x} dx = 3 \tan x + C_3$

$\int \frac{2}{\sin^2 x} dx = 2 \int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -2 \cot x + C_4$

したがって、

$\int \left(\frac{3}{\cos^2 x} - \frac{2}{\sin^2 x}\right) dx = 3 \tan x - (-2 \cot x) + C = 3 \tan x + 2 \cot x + C$

3. 最終的な答え

$3 \tan x + 2 \cot x + C$