関数 $y = f(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{8}{3}$ について、増減表を作成する問題です。凹凸・変曲点は調べなくてもよいとのことです。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

関数 $y = f(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{8}{3}$ について、増減表を作成する問題です。凹凸・変曲点は調べなくてもよいとのことです。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求めます。

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。これが極値の候補となります。

求めた $x$ の値の前後で、$f'(x)$ の符号がどう変化するかを調べます。

$f'(x) > 0$ ならば $f(x)$ は増加、$f'(x) < 0$ ならば $f(x)$ は減少です。

これらの情報をもとに増減表を作成します。

まず、$f'(x)$ を計算します。

$f(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{8}{3}$

$f'(x) = \frac{4x^3}{4} + \frac{3x^2}{3} - 2x$

$f'(x) = x^3 + x^2 - 2x$

$f'(x) = x(x^2 + x - 2)$

$f'(x) = x(x + 2)(x - 1)$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$x(x + 2)(x - 1) = 0$

よって、$x = -2, 0, 1$

増減表を作成します。

| x | ... | -2 | ... | 0 | ... | 1 | ... |

| :--- | :--- | :-- | :--- | :-- | :--- | :-- | :--- |

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 減少 | 極小 | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

次に、$f(-2)$, $f(0)$, $f(1)$ を計算します。

$f(-2) = \frac{(-2)^4}{4} + \frac{(-2)^3}{3} - (-2)^2 + \frac{8}{3} = \frac{16}{4} - \frac{8}{3} - 4 + \frac{8}{3} = 4 - 4 = 0$

$f(0) = \frac{0^4}{4} + \frac{0^3}{3} - 0^2 + \frac{8}{3} = \frac{8}{3}$

$f(1) = \frac{1^4}{4} + \frac{1^3}{3} - 1^2 + \frac{8}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1 + \frac{8}{3} = \frac{3 + 4 - 12 + 32}{12} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}$

したがって、増減表は以下のようになります。

| x | ... | -2 | ... | 0 | ... | 1 | ... |

| :--- | :--- | :-- | :--- | :-- | :--- | :-- | :--- |

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 減少 | 0 | 増加 | 8/3 | 減少 | 9/4 | 増加 |

3. 最終的な答え

増減表は以下の通りです。

| x | ... | -2 | ... | 0 | ... | 1 | ... |

| :--- | :--- | :-- | :--- | :-- | :--- | :-- | :--- |

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 減少 | 0 | 増加 | 8/3 | 減少 | 9/4 | 増加 |