関数 $y = f(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{8}{3}$ について、以下の問いに答えます。 (1) 関数 $y = f(x)$ の増減表を作成します (凹凸・変曲点は調べなくてもよい)。 (2) 関数 $y = f(x)$ の極値を求めます。 (3) 関数 $y = f(x)$ のグラフの概形を描きます。

1. 問題の内容

関数 $y = f(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{8}{3}$ について、以下の問いに答えます。

(1) 関数 $y = f(x)$ の増減表を作成します (凹凸・変曲点は調べなくてもよい)。

(2) 関数 $y = f(x)$ の極値を求めます。

(3) 関数 $y = f(x)$ のグラフの概形を描きます。

2. 解き方の手順

(1) 増減表の作成

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = x^3 + x^2 - 2x = x(x^2 + x - 2) = x(x+2)(x-1)$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$x(x+2)(x-1) = 0$ より、$x = -2, 0, 1$

これらの値を基に増減表を作成します。凹凸は考慮しないため、$f''(x)$ は計算しません。

| x | ... | -2 | ... | 0 | ... | 1 | ... |

| :----- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↓ | 極小 | ↑ | 極大 | ↓ | 極小 | ↑ |

(2) 極値の計算

$x = -2$ のとき、

$f(-2) = \frac{(-2)^4}{4} + \frac{(-2)^3}{3} - (-2)^2 + \frac{8}{3} = \frac{16}{4} - \frac{8}{3} - 4 + \frac{8}{3} = 4 - 4 = 0$

$x = 0$ のとき、

$f(0) = \frac{0^4}{4} + \frac{0^3}{3} - 0^2 + \frac{8}{3} = \frac{8}{3}$

$x = 1$ のとき、

$f(1) = \frac{1^4}{4} + \frac{1^3}{3} - 1^2 + \frac{8}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1 + \frac{8}{3} = \frac{3+4-12+32}{12} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}$

したがって、

極小値は $f(-2) = 0$ (x=-2のとき) と $f(1) = \frac{9}{4}$ (x=1のとき)

極大値は $f(0) = \frac{8}{3}$ (x=0のとき)

(3) グラフの概形

極値と増減表を基にグラフの概形を描きます。$x$ が大きくなると $x^4$ の項が支配的になるため、$x \to \pm \infty$ で $y \to +\infty$ になります。

3. 最終的な答え

(1) 増減表: 上記の表を参照してください。

(2) 極値:

極小値: $f(-2) = 0$, $f(1) = \frac{9}{4}$

極大値: $f(0) = \frac{8}{3}$

(3) グラフの概形:

x=-2で極小値0を取り、x=0で極大値8/3を取り、x=1で極小値9/4を取り、xが大きくなるにつれてyは無限に増加します。