放物線 $C: y = x^2 - 4x + 3$ が与えられている。 (1) 放物線 $C$ 上の $x$ 座標が1である点における接線の方程式と、$x$ 座標が5である点における接線の方程式をそれぞれ求める。 (2) 放物線 $C$ と (1) で求めた2つの接線で囲まれた部分の面積を求める。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = x^2 - 4x + 3$ が与えられている。

(1) 放物線 $C$ 上の $x$ 座標が1である点における接線の方程式と、$x$ 座標が5である点における接線の方程式をそれぞれ求める。

(2) 放物線 $C$ と (1) で求めた2つの接線で囲まれた部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = x^2 - 4x + 3$ を微分して、接線の傾きを求める。

$\frac{dy}{dx} = 2x - 4$

$x = 1$ のときの接線の傾きは $2(1) - 4 = -2$ である。$x = 1$ のとき、$y = 1^2 - 4(1) + 3 = 0$ より、点 $(1, 0)$ における接線の方程式は、

$y - 0 = -2(x - 1)$

$y = -2x + 2$

$x = 5$ のときの接線の傾きは $2(5) - 4 = 6$ である。$x = 5$ のとき、$y = 5^2 - 4(5) + 3 = 8$ より、点 $(5, 8)$ における接線の方程式は、

$y - 8 = 6(x - 5)$

$y = 6x - 22$

(2)

放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ と2つの接線 $y = -2x + 2$ と $y = 6x - 22$ で囲まれた部分の面積を求める。

2つの接線の交点を求める。

$-2x + 2 = 6x - 22$

$8x = 24$

$x = 3$

接線 $y = -2x + 2$ と放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ で囲まれた部分の面積 $S_1$ は、

$S_1 = \int_1^3 \{(-2x + 2) - (x^2 - 4x + 3)\} dx = \int_1^3 (-x^2 + 2x - 1) dx = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + x^2 - x \right]_1^3 = (-9 + 9 - 3) - (-\frac{1}{3} + 1 - 1) = -3 + \frac{1}{3} = -\frac{8}{3}$

面積なので絶対値をとって $S_1 = \frac{4}{3}$

接線 $y = 6x - 22$ と放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ で囲まれた部分の面積 $S_2$ は、

$S_2 = \int_3^5 \{(6x - 22) - (x^2 - 4x + 3)\} dx = \int_3^5 (-x^2 + 10x - 25) dx = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + 5x^2 - 25x \right]_3^5 = (-\frac{125}{3} + 125 - 125) - (-9 + 45 - 75) = -\frac{125}{3} - (-39) = -\frac{125}{3} + \frac{117}{3} = -\frac{8}{3}$

面積なので絶対値をとって $S_2 = \frac{4}{3}$

求める面積 $S = S_1 + S_2 = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$

$S_1 = \int_1^3 (-x^2 + 2x - 1) dx = \int_1^3 -(x-1)^2 dx = \left[ -\frac{1}{3} (x-1)^3 \right]_1^3 = -\frac{8}{3}$

$S_2 = \int_3^5 (-x^2 + 10x - 25) dx = \int_3^5 -(x-5)^2 dx = \left[ -\frac{1}{3} (x-5)^3 \right]_3^5 = \frac{8}{3}$

したがって、$S = |-\frac{8}{3}|+|\frac{8}{3}|/2 = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 4/3 + 4/3 = 8/3$

積分区間の計算が間違っており、訂正。面積は $S = S_1 + S_2$ではなく、$S = 4/3+4/3$ である。

3. 最終的な答え

(1) $x=1$のときの接線: $y = -2x + 2$

$x=5$のときの接線: $y = 6x - 22$

(2) 面積: $\frac{32}{3}$

積分範囲を間違えていたので修正．

求める面積は

$S = \int_1^5 | x^2 -4x+3 -(-2x+2)| dx + \int_3^5 | x^2 -4x+3 - (6x-22) |dx= \frac{4}{3}+ \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{3}$と計算すると、32/3となる。

$S = \frac{4}{3} * 4 =32/3$

(1) y = -2x+2とy = 6x-22

(2) 32/3

```