放物線 $C: y = x^2 - 4x + 3$ が与えられています。 (1) 放物線 $C$ 上の $x$ 座標が1である点と、$x$ 座標が5である点における接線の方程式をそれぞれ求めます。 (2) 放物線 $C$ と (1) で求めた2つの接線で囲まれた部分の面積を求めます。 (3) 問題文には(3)がありますが、画像に(3)に該当する問題が記載されていません。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = x^2 - 4x + 3$ が与えられています。

(1) 放物線 $C$ 上の $x$ 座標が1である点と、$x$ 座標が5である点における接線の方程式をそれぞれ求めます。

(2) 放物線 $C$ と (1) で求めた2つの接線で囲まれた部分の面積を求めます。

(3) 問題文には(3)がありますが、画像に(3)に該当する問題が記載されていません。

2. 解き方の手順

(1) まず、$y = x^2 - 4x + 3$ を微分して、$y'$ を求めます。

$y' = 2x - 4$

$x=1$ のとき、$y' = 2(1) - 4 = -2$ です。また、$y = 1^2 - 4(1) + 3 = 0$ です。したがって、$x=1$ における接線の方程式は、

$y - 0 = -2(x - 1)$

$y = -2x + 2$

$x=5$ のとき、$y' = 2(5) - 4 = 6$ です。また、$y = 5^2 - 4(5) + 3 = 8$ です。したがって、$x=5$ における接線の方程式は、

$y - 8 = 6(x - 5)$

$y = 6x - 22$

(2) 放物線 $C: y = x^2 - 4x + 3$ と2つの接線 $y = -2x + 2$ と $y = 6x - 22$ で囲まれた部分の面積を求めます。

まず、$y = -2x + 2$ と $y = 6x - 22$ の交点を求めます。

$-2x + 2 = 6x - 22$

$8x = 24$

$x = 3$

交点の $x$ 座標は $3$ です。

次に、$x^2 - 4x + 3 = -2x + 2$ の解を求めます。

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x - 1)^2 = 0$

$x = 1$

次に、$x^2 - 4x + 3 = 6x - 22$ の解を求めます。

$x^2 - 10x + 25 = 0$

$(x - 5)^2 = 0$

$x = 5$

したがって、求める面積 $S$ は、

$S = \int_1^3 (x^2 - 4x + 3 - (-2x + 2)) dx + \int_3^5 (x^2 - 4x + 3 - (6x - 22)) dx$

$= \int_1^3 (x^2 - 2x + 1) dx + \int_3^5 (x^2 - 10x + 25) dx$

$= \int_1^3 (x - 1)^2 dx + \int_3^5 (x - 5)^2 dx$

$= [\frac{1}{3}(x - 1)^3]_1^3 + [\frac{1}{3}(x - 5)^3]_3^5$

$= \frac{1}{3}(2^3 - 0^3) + \frac{1}{3}(0^3 - (-2)^3)$

$= \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$

3. 最終的な答え

(1)

$x=1$ における接線: $y = -2x + 2$

$x=5$ における接線: $y = 6x - 22$

(2)

面積: $\frac{16}{3}$