$n$ 個の袋があり、各袋には白玉が2個、赤玉が $2n-2$ 個入っている。各袋から1個ずつ玉を取り出すとき、取り出した白玉の個数がちょうど2個である確率を $p_n$ とする。$\displaystyle \lim_{n \to \infty} p_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

$n$ 個の袋があり、各袋には白玉が2個、赤玉が $2n-2$ 個入っている。各袋から1個ずつ玉を取り出すとき、取り出した白玉の個数がちょうど2個である確率を $p_n$ とする。$\displaystyle \lim_{n \to \infty} p_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$n$ 個の袋から玉を1個ずつ取り出すとき、取り出した白玉の個数が2個である確率 $p_n$ を求める。2個の白玉を取り出す袋を選ぶ組み合わせを考える。

まず、$n$ 個の袋から2個の袋を選び、それらの袋から白玉を取り出す場合の数は $_nC_2$ 通りである。選ばれなかった残りの $n-2$ 個の袋からは赤玉を取り出す必要がある。

各袋から白玉を取り出す確率は $\frac{2}{2n}$ = $\frac{1}{n}$ であり、赤玉を取り出す確率は $\frac{2n-2}{2n}$ = $\frac{n-1}{n}$ である。

したがって、取り出した白玉の個数が2個である確率は、

$p_n = {_nC_2} \times (\frac{1}{n})^2 \times (\frac{n-1}{n})^{n-2}$

となる。

$_nC_2 = \frac{n(n-1)}{2}$ なので、

$p_n = \frac{n(n-1)}{2} \times \frac{1}{n^2} \times (\frac{n-1}{n})^{n-2}$

$p_n = \frac{n(n-1)}{2n^2} \times (\frac{n-1}{n})^{n-2}$

$p_n = \frac{n-1}{2n} \times (\frac{n-1}{n})^{n-2}$

$p_n = \frac{n-1}{2n} \times (1 - \frac{1}{n})^{n-2}$

$p_n = \frac{n-1}{2n} \times (1 - \frac{1}{n})^n \times (1 - \frac{1}{n})^{-2}$

ここで、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n = \frac{1}{e}$ であり、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n-1}{2n} = \frac{1}{2}$ であり、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^{-2} = 1$ である。

したがって、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} p_n = \frac{1}{2} \times \frac{1}{e} \times 1 = \frac{1}{2e}$

3. 最終的な答え

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} p_n = \frac{1}{2e}$