(1) 赤球3個、白球4個の計7個を一列に並べる方法の総数を求める。 (2) 6個の数字1, 2, 2, 3, 3, 3を全部使ってできる6桁の整数の総数を求める。 (3) 7個の文字a, a, a, b, b, c, cを一列に並べてできる文字列の総数を求める。 (4) 図のような道があるとき、地点Aから地点Bまで行く最短経路の総数を求める。

はい、承知いたしました。問題文に記載されている4つの問題全てを解きます。

1. 問題の内容

(1) 赤球3個、白球4個の計7個を一列に並べる方法の総数を求める。

(2) 6個の数字1, 2, 2, 3, 3, 3を全部使ってできる6桁の整数の総数を求める。

(3) 7個の文字a, a, a, b, b, c, cを一列に並べてできる文字列の総数を求める。

(4) 図のような道があるとき、地点Aから地点Bまで行く最短経路の総数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

7個のものを並べるので、全体では7!通りの並べ方がある。しかし、赤球3個と白球4個はそれぞれ区別しないので、同じものの順列の考え方を用いる。

$\frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35$

(2)

6個の数字を並べるので、全体では6!通りの並べ方がある。しかし、2が2個、3が3個とそれぞれ区別しないので、同じものの順列の考え方を用いる。

$\frac{6!}{2!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{6 \times 5 \times 4}{2} = 6 \times 5 \times 2 = 60$

(3)

7個の文字を並べるので、全体では7!通りの並べ方がある。しかし、aが3個、bが2個、cが2個とそれぞれ区別しないので、同じものの順列の考え方を用いる。

$\frac{7!}{3!2!2!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4}{2 \times 2} = 7 \times 6 \times 5 = 210$

(4)

AからBまで行く最短経路は、右に5回、上に2回移動する必要がある。したがって、合計7回の移動のうち、右への移動を5回選ぶ組み合わせの数になる。これは7回中2回上を選んでも同じである。

$_{7}C_{5} = \frac{7!}{5!2!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

$_{7}C_{2} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

3. 最終的な答え

(1) 35通り

(2) 60通り

(3) 210通り

(4) 21通り