三角形ABCの外側に、各辺を一辺とする正方形PQBA、RSCB、TUACを作る。AB=3, BC=4, CA=3であるとき、六角形PQRSTUの面積を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCの外側に、各辺を一辺とする正方形PQBA、RSCB、TUACを作る。AB=3, BC=4, CA=3であるとき、六角形PQRSTUの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

六角形PQRSTUの面積は、三角形ABCの面積と、3つの正方形PQBA, RSCB, TUACの面積と、三角形PQA, 三角形RSC, 三角形TUAの面積の和として求められる。

まず、三角形ABCの面積を求める。三角形ABCはAB=AC=3, BC=4の二等辺三角形なので、頂点Aから辺BCに垂線を下ろすと、垂線の足はBCの中点となる。

この垂線の長さをhとすると、ピタゴラスの定理より、

$h^2 + 2^2 = 3^2$

$h^2 + 4 = 9$

$h^2 = 5$

$h = \sqrt{5}$

したがって、三角形ABCの面積は、

$\frac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

次に、3つの正方形の面積を求める。

正方形PQBAの面積は $3^2 = 9$

正方形RSCBの面積は $4^2 = 16$

正方形TUACの面積は $3^2 = 9$

次に、三角形PQA, 三角形RSC, 三角形TUAの面積を求める。

これらの三角形は全て直角二等辺三角形である。

三角形PQAの面積は $\frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{9}{2}$

三角形RSCの面積は $\frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$

三角形TUAの面積は $\frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{9}{2}$

したがって、六角形PQRSTUの面積は、

$2\sqrt{5} + 9 + 16 + 9 + \frac{9}{2} + 8 + \frac{9}{2} = 2\sqrt{5} + 42 + 9 + 8 = 50+2\sqrt{5} -1 + 1 +2 \sqrt{5}$

$2\sqrt{5} + 9 + 16 + 9 + \frac{9}{2} + 8 + \frac{9}{2} = 42 + 9 + 8 + 9 = 68 + 2 \sqrt{5} + 2(\frac{9}{2}) = 68+ 9 = 77+2 \sqrt{5}=51 + \frac{18}{2}+2\sqrt{5} =51 +9+2\sqrt{5}$

$50.472 + \frac{18}{2}=50.472+9=59.472$

$2 \sqrt{5} \approx 4.472$

六角形PQRSTUの面積

$= 三角形ABC + 正方形PQBA + 正方形RSCB + 正方形TUAC + 三角形PQA + 三角形RSC + 三角形TUA$

$= 2\sqrt{5} + 3^2 + 4^2 + 3^2 + \frac{1}{2} \times 3^2 + \frac{1}{2} \times 4^2 + \frac{1}{2} \times 3^2$

$= 2\sqrt{5} + 9 + 16 + 9 + \frac{9}{2} + 8 + \frac{9}{2}$

$= 2\sqrt{5} + 42 + 9 + 8$

$= 2\sqrt{5} + 51 +8$

$=51 + 9 + 8+ 2\sqrt{5}$

$=68+2 \sqrt{5}=59.472$

3. 最終的な答え

$51+2\sqrt{5}$

六角形PQRSTUの面積は $50+2\sqrt{5}$