鋭角三角形ABCにおいて、辺BCの長さが8cm、面積が16cm$^2$である。辺BCに平行な直線が辺AB, ACと交わる点をそれぞれP, Qとする。PQの長さを$x$ cmとする。PQを1辺としてAと反対側に正方形PQRSを作り、この正方形と三角形ABCとの共通部分の面積を$y$ cm$^2$とする。$y$を$x$の式で表せ。

1. 問題の内容

鋭角三角形ABCにおいて、辺BCの長さが8cm、面積が16cm$^2$である。辺BCに平行な直線が辺AB, ACと交わる点をそれぞれP, Qとする。PQの長さを$x$ cmとする。PQを1辺としてAと反対側に正方形PQRSを作り、この正方形と三角形ABCとの共通部分の面積を$y$ cm$^2$とする。$y$を$x$の式で表せ。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCの高さhを求める。三角形の面積は$1/2 \times 底辺 \times 高さ$で与えられるので、

$\frac{1}{2} \times 8 \times h = 16$

$4h = 16$

$h = 4$

次に、三角形APQと三角形ABCは相似である。相似比は$x:8$である。

したがって、三角形APQの高さh'は、$h' = \frac{x}{8}h = \frac{x}{8} \times 4 = \frac{x}{2}$となる。

ここで、$x$の値によって場合分けを行う。

(i) $0 < x \le 4$のとき

正方形PQRSは三角形ABCに含まれる。したがって、正方形PQRSと三角形ABCの共通部分は正方形PQRSそのものである。したがって、共通部分の面積$y$は$y = x^2$となる。

(ii) $4 < x < 8$のとき

正方形PQRSの一部が三角形ABCの外に出る。

このとき、$y$は正方形PQRSの面積$x^2$から、三角形ABCの外に出る部分の面積を引いたものとなる。

ここで、三角形APQの面積は$\frac{1}{2} x (\frac{x}{2}) = \frac{x^2}{4}$である。

三角形ABCの面積は16である。

$y$を求めるには、正方形PQRSの面積から、三角形ABCの外に出る部分の面積を求める必要がある。しかし、この問題を解くためには、正方形PQRSと三角形ABCの相対的な位置関係を詳細に把握する必要があり、現状の情報では一意に決定することができない。問題文の設定が不十分である。

3. 最終的な答え

$0 < x \le 4$のとき、$y = x^2$

問題文の設定が不十分なため、$4 < x < 8$のときの$y$の式は求められません。