双曲線について、漸近線が $x=2$ と $y=-1$ であり、点 $(3,2)$ を通る関数を $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の形で求めます。

1. 問題の内容

双曲線について、漸近線が $x=2$ と $y=-1$ であり、点 $(3,2)$ を通る関数を $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の形で求めます。

2. 解き方の手順

まず、漸近線が $x=2$ であることから、$cx+d = 0$ のとき $x=2$ となるので、$2c+d=0$、つまり $d = -2c$ が成り立ちます。

次に、漸近線が $y=-1$ であることから、$y = \frac{a}{c} = -1$ が成り立ちます。つまり、$a = -c$ です。

したがって、$y = \frac{-cx+b}{cx-2c}$ となります。ここで、$c$ で割って、$y = \frac{-x+b/c}{x-2}$ と書き換えることができます。$b/c$ を改めて $k$ とおくと、$y = \frac{-x+k}{x-2}$ となります。

この双曲線は点 $(3,2)$ を通るので、$x=3$、$y=2$ を代入すると、

$2 = \frac{-3+k}{3-2}$

$2 = -3+k$

$k = 5$

したがって、$y = \frac{-x+5}{x-2}$ となります。

ここで、$a=-c$ であることを用いると、$c = 1$、$a = -1$ とすることができます。

$d = -2c$ より、$d = -2$ となります。

また、$b/c = k = 5$ より、$b = 5c = 5$ となります。

したがって、$y = \frac{-x+5}{x-2}$ となります。

3. 最終的な答え

$y = \frac{-x+5}{x-2}$