三角形ABCにおいて、点QとRはそれぞれ辺ABとBCを、図に示されている比で内分する。このとき、AO:ORを求めよ。図から、AQ:QB = 3:2, BR:RC = 1:2 である。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点QとRはそれぞれ辺ABとBCを、図に示されている比で内分する。このとき、AO:ORを求めよ。図から、AQ:QB = 3:2, BR:RC = 1:2 である。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理とメネラウスの定理を用いることで解くことができる。

まず、チェバの定理より、以下の式が成り立つ。

$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{CP}{PA} = \frac{4}{3}$

次に、三角形ABRに直線OCを適用してメネラウスの定理を用いる。

$\frac{BC}{CR} \cdot \frac{RO}{OA} \cdot \frac{AQ}{QB} = 1$

$\frac{3}{2} \cdot \frac{RO}{OA} \cdot \frac{3}{2} = 1$

$\frac{9}{4} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

$\frac{RO}{OA} = \frac{4}{9}$

$\frac{OA}{RO} = \frac{9}{4}$

したがって、AO:OR = 9:4

3. 最終的な答え

9:4