(1) 半径12cmの円の周の長さを求める。 (2) 半径7cm, 中心角40°のおうぎ形の弧の長さを求める。 (3) 半径5cm, 中心角72°のおうぎ形の面積を求める。 (4) 半径8cm, 弧の長さが$6\pi$ cmのおうぎ形の中心角の大きさを求める。 (5) 一辺の長さが4cmの正三角形2つと、半径が4cmのおうぎ形2つを組み合わせた図形において、色のついた部分の面積を求める。

1. 問題の内容

(1) 半径12cmの円の周の長さを求める。

(2) 半径7cm, 中心角40°のおうぎ形の弧の長さを求める。

(3) 半径5cm, 中心角72°のおうぎ形の面積を求める。

(4) 半径8cm, 弧の長さが$6\pi$ cmのおうぎ形の中心角の大きさを求める。

(5) 一辺の長さが4cmの正三角形2つと、半径が4cmのおうぎ形2つを組み合わせた図形において、色のついた部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円周の長さの公式は $2\pi r$ （$r$は半径）であるから、

$2\pi \times 12 = 24\pi$。

(2) 弧の長さの公式は $2\pi r \times \frac{中心角}{360^\circ}$ であるから、

$2\pi \times 7 \times \frac{40}{360} = 14\pi \times \frac{1}{9} = \frac{14\pi}{9}$。

(3) おうぎ形の面積の公式は $\pi r^2 \times \frac{中心角}{360^\circ}$ であるから、

$\pi \times 5^2 \times \frac{72}{360} = 25\pi \times \frac{1}{5} = 5\pi$。

(4) 弧の長さの公式から、中心角を$x$とおくと、

$2\pi \times 8 \times \frac{x}{360} = 6\pi$

$\frac{16\pi x}{360} = 6\pi$

$16x = 2160$

$x = \frac{2160}{16} = \frac{540}{4} = 135$

(5) 色のついた部分の面積は、半円の面積から正三角形の面積を引いたもの。

半円の面積は $\pi \times 4^2 \div 2 = 8\pi$。

正三角形の面積は $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 一辺^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = 4\sqrt{3}$。

したがって、色のついた部分の面積は $8\pi - 4\sqrt{3}$。

3. 最終的な答え

(1) $24\pi$ cm

(2) $\frac{14\pi}{9}$ cm

(3) $5\pi$ cm$^2$

(4) $135^\circ$

(5) $8\pi - 4\sqrt{3}$ cm$^2$