台形ABCDがあり、$AD=3\text{cm}$、$CD=8\text{cm}$、$\angle BCD = \angle CDA = 90^{\circ}$である。直線$l$は辺CDと平行で、四角形EFGHは台形ABCDを直線$l$を対称の軸として対称移動させた図形である。$AE=10\text{cm}$、$BF=16\text{cm}$のとき、四角形EFGHの面積を求める。

1. 問題の内容

台形ABCDがあり、$AD=3\text{cm}$、$CD=8\text{cm}$、$\angle BCD = \angle CDA = 90^{\circ}$である。直線$l$は辺CDと平行で、四角形EFGHは台形ABCDを直線$l$を対称の軸として対称移動させた図形である。$AE=10\text{cm}$、$BF=16\text{cm}$のとき、四角形EFGHの面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、四角形EFGHの形状を考える。台形ABCDを直線$l$を軸として対称移動させたものであるため、四角形EFGHも台形であり、EH = AD = 3 cm、GH = CD = 8 cmである。また、$\angle EHG = \angle CDA = 90^\circ$であり、$\angle FGH = \angle BCD = 90^\circ$である。したがって、四角形EFGHは上底がEH、下底がGF、高さがGHの台形である。

次に、台形EFGHの下底GFの長さを求める。台形ABCDの面積は台形EFGHの面積と等しい。そこで、台形ABCDの面積を求めることを考える。

台形ABCDの面積は、上底AD、下底BC、高さCDを用いて、

$\frac{1}{2}(AD+BC) \times CD$

で表される。ADとCDの長さはすでにわかっているので、BCの長さを求める必要がある。

ここで、AE = 10 cm、BF = 16 cmであることから、AD + BC = EH + GF = AE + BF = 10 + 16 = 26 cm。

よって、3 + BC = 26 cm より、BC = 23 cm。

したがって、台形ABCDの面積は、

$\frac{1}{2}(3+23) \times 8 = \frac{1}{2}(26) \times 8 = 13 \times 8 = 104 \text{cm}^2$

台形EFGHの面積も104 $\text{cm}^2$である。

台形EFGHの面積は、

$\frac{1}{2}(EH+GF) \times GH = \frac{1}{2}(3+GF) \times 8 = (3+GF) \times 4$

と表される。

したがって、$(3+GF) \times 4 = 104$ であるから、

$3 + GF = \frac{104}{4} = 26$

$GF = 26 - 3 = 23 \text{cm}$

以上より、台形EFGHの上底EH = 3 cm、下底GF = 23 cm、高さGH = 8 cmなので、

台形EFGHの面積は

$\frac{1}{2}(3+23) \times 8 = \frac{1}{2}(26) \times 8 = 13 \times 8 = 104 \text{cm}^2$

3. 最終的な答え

104 $\text{cm}^2$