三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺BC, ACをBQ:QC = 3:1, AR:RC = 2:1 の比に内分するとき、線分BOとORの比 BO:OR を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺BC, ACをBQ:QC = 3:1, AR:RC = 2:1 の比に内分するとき、線分BOとORの比 BO:OR を求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理とメネラウスの定理を用いて解くことができます。

* まず、チェバの定理を利用します。三角形ABCにおいて、AQ, BR, CO が一点Oで交わるので、

$\frac{AR}{RC} \cdot \frac{CQ}{QB} \cdot \frac{BP}{PA} = 1$

ここに、与えられた値を代入します。$AR/RC = 2/1$, $CQ/QB = 1/3$です。これを代入すると

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{BP}{PA} = 1$

$\frac{2}{3} \cdot \frac{BP}{PA} = 1$

$\frac{BP}{PA} = \frac{3}{2}$

* 次に、三角形ARCにおいて、直線BQに対してメネラウスの定理を利用します。

$\frac{CB}{BQ} \cdot \frac{BO}{OR} \cdot \frac{RA}{AC} = 1$

ここで、$CB = CQ + QB = 1+3 = 4$, $BQ = 3$, $RA = 2$, $AC = AR + RC = 2+1 = 3$ なので、$RA/AC = 2/3$

$\frac{4}{3} \cdot \frac{BO}{OR} \cdot \frac{2}{3} = 1$

$\frac{8}{9} \cdot \frac{BO}{OR} = 1$

$\frac{BO}{OR} = \frac{9}{8}$

3. 最終的な答え

BO : OR = 9 : 8